「Z変換」の版間の差分

Z変換は離散群上での[[ラプラス変換]]とも説明される。なお、Z変換という呼び方は、ラプラス変換のことを「s変換」と呼んでいるようなものであり、定義式中の遅延要素である''z''に由来する名前である。

 

 

列''x''_''n''のZ変換は以下の式で定義される:

:<math>\mathcal{Z}[x(n_1,n_2)] = X(z_1,z_2)=\sum_{n_1=-\infty}^{\infty}\sum_{n_2=-\infty}^{\infty} x(n_1,n_2) z_1^{-n_1}z_2^{-n_2}</math>

 

 

なお、Z変換の級数は一般には発散することがある。収束する''z''の領域（収束領域）を以下のように書ける:

:<math>\mbox{ROC}=\left\{(z_1,z_2) : \sum_{n_1=-\infty}^{\infty}\sum_{n_2=-\infty}^{\infty} x(n_1,n_2) z_1^{-n_1}z_2^{-n_2} < \infty\right\}</math>

 

 

Z変換の逆変換である'''逆Z変換'''（inverse Z-transform）は次のようになる:

いずれにせよ、定義に示した積分計算そのものを直接計算することは稀である。

 

;線型性

:Z変換は線型性を持ち、したがって特に重ね合わせの原理を用いて計算できる。したがって任意の''x''_''n'',''y''_''n''に対して

積分路 <math>C_1</math> は <math>X(v)</math> と <math>H^*\left(\frac{1}{v^*}\right)</math> の'''ROC'''の共同区域にある閉路であり、 <math>C_2</math> は <math>H^*(v)</math> と <math>X\left(\frac{1}{v}\right)</math> の'''ROC'''の共同区域にある閉路である。

 

{{Main|LTIシステム理論}}

離散時間のLTIシステムは以下の定数係数の線形差分方程式としてモデル化されることができる：

伝達関数を分析すれば、システム特性の解明に役立つ。

 

 

 

Z変換は両側[[ラプラス変換]]を離散化したものである。つまり離散化された関数

に対応する。但し、''T''はサンプリング周期であり、''e''^''sT''がZ変換における''z''に対応する。

 

 

 

 

{| border="1" cellspacing=0

! 元の関数 ''x''(''n'') !! Z変換 ''X''(''z'') !! 収束領域

|-

|-

| ''u''(''n'') || <math> \frac{1}{1-z^{-1}}</math> || <math>|z| > 1</math>

| ''a''ⁿ ''u''(-''n''-1) || <math>\frac{-1}{1-a z^{-1}}</math> ||<math> |z| < |a|</math>

|-

|-

|-

|-

|-

|}

 

* [[LTIシステム理論]]

* [[フーリエ変換]] - [[ラプラス変換]]

[[ro:Transformata Z]]

[[ru:Z-преобразование]]

[[sv:Z-transform]]

[[zh:Z轉換]]