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== 定義 ==
Mをn次元の多様体(あるいは、同値なことだが、ユークリッド空間R<sup>m</sup>の部分集合で局所的には自由度nの座標が入るようなもの)とするとき、M上のベクトル場Xは写像V: M → R<sup>m</sup>で次の条件を満たすものとして定義される。
したがって、ベクトル場Vからは座標系実ごとにn変数のベクトル置換数による表示が得られることになるが、座標系が交わるところでは上に挙げた条件によって関数たちが張り合わされ、幾何学的に内在的なものがえられている。
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R<sup>3</sup>上のベクトル場'''X''' = (X<sub>1</sub>, X<sub>1</sub>, X<sub>1</sub>): R<sup>3</sup> → R<sup>3</sup>に対してその[[発散]]
=\frac{\partial X_1}{\partial x}
+\frac{\partial X_2}{\partial y}
+\frac{\partial X_3}{\partial z}. </math>}}
や[[回転]]
{\frac{\partial X_3}{\partial y}} - {\frac{\partial X_2}{\partial z}} \\ \\
{\frac{\partial X_1}{\partial z}} - {\frac{\partial X_3}{\partial x}}\\ \\
{\frac{\partial X_2}{\partial x}} - {\frac{\partial X_1}{\partial y}}
\end{bmatrix}</math>}}
が定義される。多様体論の枠組みでは、これらはR<sup>3</sup>上の接ベクトル場に対する操作というよりも、2次微分形式や1次微分形式に対する[[外微分]]として自然に理解される。
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R<sup>3</sup>上のベクトル場は、その発散と回転によって定まる。
すなわち、ベクトル場 '''V''' と '''W''' について
がなりたっていれば'''V''' と '''W''' は一致している。
=== ヘルムホルツの原理 ===
全てのベクトル場 '''V''' は、[[スカラーポテンシャル]] φ 、[[ベクトルポテンシャル]] '''A''' を用いて、
と表せる。
== 流れ ==
多様体 M 上のベクトル場 X があたえられたとき、各点での速度が X によって表されるような M 上の'''流れ''' (flow) を考えることができる。通常は技術的な仮定として、X が[[コンパクト (数学)|コンパクト]]な台を持つことが要請される。そのときMの任意の任意の点 p について初期値付きの[[微分方程式]]
は一意に定まる解を持ち、任意のtについて写像φ<sub>t</sub>: p → φ<sub>t</sub>(p)はM上の微分同相を定めている。[[実数]]の加法[[群]]'''R'''からMの[[微分同相]]群Diff(M)への写像φ: t → φ<sub>t</sub>は群の準同型になり、X の流れとよばれる。この流れ φ はXによって速度を指定されたM上の[[力学系]]を表している。
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