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「確率微分方程式」の版間の差分

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25行目:
 
典型的には、''B<sub>t</sub>'' （''t''≧0） を、 ''B''<sub>0</sub> = 0 を満たす連続時間一次元[[ブラウン運動]]（[[ウィーナー過程]]）とするとき、積分方程式
:{{Indent|<math> X_{t+s} - X_{t} = \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) du + \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, dB_u </math>}}
を
:{{Indent|<math> dX_t = \mu(X_t,t)\, dt + \sigma(X_t,t)\, dB_t </math>}}
の形に略記したものを、確率微分方程式という。
上記方程式は、連続時間の確率過程 ''X''<sub>''t''</sub> の振る舞いを、一般の[[ルベーグ積分]]と伊藤積分の和で模している。
52行目:
以下の確率微分方程式、
 
:{{Indent|<math>dX_t = \mu X_t\, dt + \sigma X_t\, dB_t</math>}}
 
は重要な例であり、この解を'''幾何ブラウン運動'''（きかぶらうんうんどう、英：geometric Brownian motion）という。
70行目:
 
''T'' &gt; 0 とする。
{{Indent|
 
:<math>\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n}</math><br />
:<math>\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m}</math>
}}
 
は可測関数で、適当な定数 ''C''、''D'' が存在し、
任意の ''t'' ∈ [0, ''T'']、任意の ''x'', ''y'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> に対し、次の 2 条件を満たすとする。
{{Indent|
 
:<math>\big| \mu (x, t) \big| + \big| \sigma (x, t) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big)</math><br />
:<math>\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big| \leq D | x - y |</math>
}}
 
ここで、
{{Indent|
 
:<math>| \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}</math>
}}
 
である。
確率変数 ''Z'' は、{''B<sub>s</sub>''}<sub>''s''≧0</sub> により生成される [[完全加法族|''σ'' 加法族]]と独立であり、かつ、
{{Indent|
 
:<math>\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty</math>
}}
 
を満たすとする。
このとき、確率微分方程式、
{{Indent|
 
:<math>
dX_{t} = \mu (X_{t}, t) dt + \sigma (X_{t}, t) dB_{t} \ , 0 \le t \le T
</math><br />
:<math>X_{t} = Z \,</math>
}}
 
は、以下の 2 つの性質を有する ''t'' に関して連続な解
<math>X: (t, \omega) \mapsto X_{t}(\omega)</math>
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