「ノルム (体論)」の版間の差分
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''K'' の ''L'' を含む代数閉包 ''K''<sup>^</sup> を固定し、σ<sub>''i''</sub>: ''L'' → ''K''<sup>^</sup> (1 ≤ ''i'' ≤ ''n'') を ''K'' の元を固定する同型の全体とするとき
== 例 ==
''L'' を複素数体 '''C''', ''K'' を実数体 '''R''' とすると、'''R''' の代数閉包は '''C''' であり、'''R''' を固定する '''C''' の自己同型は恒等写像と複素共役をとる写像の 2 つであるから、任意の複素数 α = ''a'' + ''ib''に対して
= \alpha \bar{\alpha}
= |\alpha|^2
= a^2 + b^2
</math>}}
が拡大 '''C''' / '''R''' に関する α のノルムである。
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* 拡大 ''L'' / ''K'' について、''L'' の任意の元 α に対し、''N''<sub>''L''/''K''</sub>(α) は ''K'' の元になる。
* 拡大 ''L'' / ''K'' と ''L'' の元 α, β に対し
*
N_{L/K}(\alpha)\cdot N_{L/K}(\beta).
</math>
* 拡大の列 ''L'' / ''M'' / ''K'' と ''L'' の元 α に対し
*
* '''ヒルベルトの定理 90''': 体の拡大 ''L'' / ''K'' が有限次巡回拡大でその[[ガロア理論|ガロア群]]が σ で生成されるとき、以下の 2 つの条件が同値である。
*# ''N''<sub>''L''/''K''</sub>(α) = 1.
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== 一般化 ==
有限群 ''G'' と ''G'' 上の[[加群]] ''M'' に対して、写像
を ''G''-加群 ''M'' の'''ノルム写像'''という。''x'' の "ノルム"
は ''G'' の作用に対して不変である。すなわち、''M'' の ''G''-不変な元全体のなす部分加群を ''M''<sup>''G''</sup> とあらわすと Im(''N''<sub>''G''</sub>) ⊂ ''M''<sup>''G''</sup> が成り立つ。
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