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'''円分体''' (えんぶんたい、[[英語|英]]: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の <math>m(>2)</math> 乗根 <math>\scriptstyle\zeta(\ne\pm 1)</math> を添加した[[代数体]]である。
以下において、特に断らない限り、<math>\zeta_n = e^{2\pi i/n}</math> とする。
== 性質 ==
* 3 以上の整数 ''m'' に対して、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> の[[体の拡大#定義|拡大次数]] <math>\scriptstyle [\mathbb{Q}(\zeta_m):\mathbb{Q}]</math> は、<math>\scriptstyle\varphi(m)</math> である。但し、<math>\scriptstyle\varphi(n)</math> は、[[オイラー関数]]である。
* 任意の円分体は、[[ガロア理論|ガロア拡大体]]であり、[[ガロア理論|ガロア群]]は、[[アーベル群]]である。
* 3 以上の整数 ''m'' に対して、<math>\scriptstyle m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}</math> (<math>\scriptstyle p_1,\ldots,\ p_r</math> は、相異なる素数、<math>\scriptstyle e_1,\ldots,e_r\ge 1)</math> と素因数分解すると、
:: <math>\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> は、<math>\mathbb{Q}(\zeta_{p_1^{e_1}}),\ldots,\ \mathbb{Q}(\zeta_{p_r^{e_r}})</math> の[[体の拡大#中間体|合成体]]であり、
:: <math>\mbox{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}\cong (\mathbb{Z}/p_1^{e_1}\mathbb{Z})^{\times}\times\cdots\times (\mathbb{Z}/p_r^{e_r}\mathbb{Z})^{\times}</math>
: が成立する。また、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> で分岐する素数は、<math>\scriptstyle p_1,\ldots,\ p_r</math> に限る。
* <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)\cap\mathbb{R} = \mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m)</math> である。この<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m)</math> を、'''最大実部分体'''または'''実円分体'''という。
* [[素元分解整域|一意分解整域]]である円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> <math>\scriptstyle(m\not\equiv 2</math> (mod 4))<ref><math>m=4k+2</math> としたとき、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)=\mathbb{Q}(\zeta_{2k+1})</math> であるので、<math>\scriptstyle m\not\equiv 2</math> (mod 4) としてよい。</ref>は、''m'' = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 だけである。
:* 特に、23 以上の素数 ''p'' に対して、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> は一意分解整域ではない。
* 類数が 2 である円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> <math>\scriptstyle(m\not\equiv 2</math> (mod 4)) は、''m'' = 39, 56 だけである。
* 円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> に含まれる[[代数的数|代数的整数]]の集合は、<math>\scriptstyle\mathbb{Z}[\zeta_m]</math> である。
== 円分体の判別式 ==
''m'' を 3 以上の整数とし、円分体 <math>\scriptstyle K = \mathbb{Q}(\zeta_m)</math> とする。
(1) ''m'' が素数のとき
''K'' の判別式は、<math>(-1)^{(m-1)/2}m^{m-2}</math> である。
(2) <math>m = p^h</math> (''p'' は素数、''h'' は 2 以上の整数)のとき
''K'' の判別式は、<math>\scriptstyle\varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}</math> である。但し、
: <math>\varepsilon = \begin{cases}-1 & (p=h=2,\mbox{ or }p\equiv 3\ (\mbox{mod }4)), \\ +1 & (p = 2, h\ge 3,\mbox{ or }p\equiv 1\ (\mbox{mod }4)). \end{cases}</math>
(3) <math>\scriptstyle m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}</math> (<math>\scriptstyle r\ge 2,\ p_1,\ldots,\ p_r</math> は相異なる素数、<math>\scriptstyle e_1,\ldots,e_r\ge 1)</math> のとき
<math>D_i</math> を、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_{p_i^{e_i}})</math> の判別式としたとき、
''K'' の判別式は、
:<math>\prod_{i=1}^r D_i^{\varphi(m)/\varphi(p_i^{e_i})}</math>
である。
== アーベル拡大体<ref>ガロア群がアーベル群となるガロア拡大体を、アーベル拡大体という。</ref>の埋め込み ==
'''クロネッカー＝ウェーバーの定理''' (Kronecker-Weber's theorem)
<math>\scriptstyle\mathbb{Q}</math> 上のガロア拡大体 ''K'' を、ガロア群がアーベル群である様にとる。すると、ある整数 <math>\scriptstyle m\ge 3</math> が存在して、
: <math>K\sub\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> 。
例えば、[[二次体]]は、アーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。
クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を[[二次体|虚二次体]]にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、[[クロネッカーの青春の夢]]である。
== 円分体と初等整数論 ==
(1) [[フェルマーの最終定理]]
素数 ''p'' に対して、
:<math>x^p + y^p = z^p</math>
の右辺を、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> 上で分解すると、
:<math>(x + y)(x + \zeta_p y)\cdots (x + \zeta_p^{p-1} y) = z^p</math>
となる。
ラメ (G. Lamé)、[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー|コーシー]] (A. Cauchy)らは、上記右辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、[[エルンスト・クンマー|クンマー]] (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、'''右辺の分解が一意的である'''ことが前提になっており、<math>p=23</math> のとき、それが成立しないことを示した。
そのため、<math>p=23</math> ([[円分体#性質|円分体の性質]]にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。
クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。
クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、'''正則素数''' と呼ばれる。
* 素数 ''p'' は、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> の類数を割り切らない。
正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。
'''クンマーの補題'''
素数 ''p'' が正則素数であれば、円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> の単数 ε を、<math>\scriptstyle\varepsilon\equiv a\ (\operatorname{mod}\ (1-\zeta_p)^p)</math> となる有理整数 ''a'' が存在するようにとると、 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> の単数 <math>\scriptstyle\varepsilon_0</math> が存在して、<math>\scriptstyle\varepsilon = \varepsilon_0^p</math> と表される。
正則素数についての詳細は、[[正則素数]] を、フェルマーの最終定理については、[[フェルマーの最終定理]]を参照のこと。
(2) [[平方剰余の相互法則]]
[[カール・フリードリッヒ・ガウス|ガウス]] (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、[[平方剰余の相互法則]]、[[平方剰余の相互法則|第1補充法則]]、[[平方剰余の相互法則|第2補充法則]]を示した。<ref>この証明は、彼による4番目の証明である。(1801-1805年に証明)</ref>
さらに、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_3),\ \scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_4)</math> 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。
高次ベキの剰余の相互法則は、その後、[[フィリップ・フルトヴェングラー|フルトヴェングラー]] (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、[[類体論]]の結果を用いて、[[高木貞治|高木]]、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。
== 円分体の類数 ==
(1) 円分体の類数の性質
以下において、''p'' を奇素数とする。
円分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> の類数を <math>h(m)</math>、最大実部分体 <math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m+1/\zeta_m)</math> の類数を <math>h_2(m)</math> とすると、
<math>h(m) = h_1(m)h_2(m)</math> (<math>h_1(m)</math> は有理整数)と表すことができる。
このとき、<math>h_1(m)</math> を'''第1因子'''または'''相対類数'''、<math>h_2(m)</math> を'''第2因子'''または'''実類数'''という。
第1因子については、以下の様な性質がある。
* 素数 ''p'' に対して、''p'' が <math>h(p)</math> を割り切る必要十分条件は、''p'' が第1因子を割り切ることである。
: つまり、第1因子が ''p'' で割り切れないならば、''p'' は正則素数である。
: この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。
* 素数 ''p'' に対して、''p'' が第1因子を割り切る必要十分条件は、<math>p^2</math> が、<math>\scriptstyle\sum_{j=1}^{p-1}j^{2k}</math> を割り切る様な整数 ''k'' <math>\scriptstyle (1\le k\le (p-3)/2)</math> が存在することである。
* <math>h_1(p)</math> が奇数であるならば、<math>h_2(p)</math> は奇数である。
クンマーは、第1因子の増大度に対して、<math>\scriptstyle\lim_{p\to\infty}h_1(p)/\gamma(p) = 1</math> と予想した。
但し、<math>\scriptstyle\gamma(p) = p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}\pi^{(p-1)/2})</math> 。<ref><math>\scriptstyle h_1(p) = \gamma(p)\prod_{\chi\in S}L(1,\chi)</math> が成立するので、L関数の積が 1 に収束することと同値である。</ref>
この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。
: <math>\lim_{p\to\infty}\frac{\log(h_1(p)/\gamma(p))}{\log p} = 0</math> 。
第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。
* ''q'' を素数とし、<math>n>1</math> とする。<math>p = (2qm)^2+1</math> が素数であるならば、<math>h_2(p)>2</math> である。
ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、''p'' は <math>h_2(p)</math> を割り切らないと予想した('''ヴァンディヴァー予想''')。現在でも、この予想が正しいかは不明である。
(2) 円分体のときの類数公式
円分体の類数を求めるには、<math>h(m)=h_1(m)h_2(m)</math> より、第1因子と第2因子を求めればよい。<ref>実際は、円分体に対して、直接類数公式で求めるのが普通である。</ref>
* 第1因子
:* <math>h_1(m) = \frac{\delta}{(2m)^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}}\prod_{\chi\in S}\sum_{n=1}^{m-1}\chi(n)n</math> 。
:: ここで、
:: <math>\delta = \begin{cases} 1 & (m\not\equiv 0\ (\mbox{mod }4)), \\ \frac{1}{2} & (m\equiv 0\ (\mbox{mod }4)), \end{cases}</math>
:: ''S'' は、<math>\chi(-1) = -1</math> を満たす、法 ''m'' に関する[[ディリクレ指標|指標]]の集合とする。
: 特に、''m'' が素数 ''p'' の場合、以下の形で表される。
:* <math>h_1(p) = \frac{1}{(2p)^{(p-3)/2}}\left|\prod_{\chi\in S}\sum_{k=1}^{p-1}\chi(k)k\right|</math> 。
: ''m'' が素数のとき、以下の様な式がある。
:* <math>h_1(p) = \frac{1}{(2p)^{(p-3)/2}}|G(\eta)G(\eta^2)\cdots G(\eta^{p-2})|</math>
:: ここで、η は、1 の原始 <math>p-1</math> 乗根とし、<math>\scriptstyle G(X) = \sum_{j=0}^{p-2}g_jX^j</math> 。
:: 但し、''g'' を、法 ''p'' に対する原始根としたとき、<math>\scriptstyle j=0,1,\ldots,p-2</math> に対して、<math>\scriptstyle 1\le g_j\le p-1</math> は、<math>\scriptstyle g^j\equiv g_j\ (\operatorname{mod}\ p)</math> を満たす正整数とする。
:* ''p'' の倍数ではない整数 ''r'' に対して、<math>\scriptstyle 1\le R(r)\le p-1</math> を、<math>\scriptstyle r\equiv R(r)\ (\operatorname{mod}\ p)</math> を満たすようにとる。
::また、<math>\scriptstyle 1\le r'\le p-1</math> を、<math>\scriptstyle rr'\equiv 1\ (\operatorname{mod}\ p)</math> を満たすようにとる。
:: <math>M_p = (R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots,(p-1)/2}</math> <ref>'''マイレ(Maillet)の行列'''という。</ref>とおくと、
:: <math>h_1(p) = \frac{1}{p^{(p-3)/2}}|\mbox{det} M_p|</math> である。
* 第2因子
:* <math>h_2(m) = \frac{2^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}}{R}\prod_{\chi\in T}\sum_{n=1}^{[\frac{m-1}{2}]}\chi(n)\log|1-\zeta_m^n|</math> 。
:: ここで、''R'' は、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)</math> の単数基準、''T'' は、<math>\chi(-1) = 1</math> を満たす、法 ''m'' に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。
: 特に、''m'' が素数 ''p'' の場合、以下の形で表される。
:* <math>h_2(p) = \frac{2^{(p-3)/2}}{R}\prod_{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum_{j=0}^{(p-3)/2}\eta^{2k^j}\log|1-\zeta_p^{g^j}|\right|</math> 。
:: ここで、η は、1 の原始 <math>p-1</math> 乗根、''g'' は、法 ''p'' に対する原始根とする。
: ''m'' が素数のとき、以下の様な式がある。
:* <math>\scriptstyle k=2,3,\ldots,(p-1)/2</math> に対して、<math>\delta_k = \sqrt{\scriptstyle\frac{(1-\zeta_p^k)(1-\zeta_p^{-k})}{(1-\zeta)(1-\zeta^{-1})}}</math> <ref>各 ''δ<sub>k</sub>'' は、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> の正の実数である単数であり、'''クンマー単数'''または'''円単数'''と呼ばれる。</ref> とおく。
:: ''g'' を法 ''p'' に関する原始根とし、<math>\delta=\delta_g</math> とおく。
:: また、σ を、<math>\scriptstyle\sigma(\zeta_p) = \zeta_p^g</math> を満たす、<math>\scriptstyle\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})</math> の生成元とする。
::: <math>M = (\log\sigma^{i+j}(\delta))_{i,j=0,1,\ldots,(p-5)/2}</math>
:: とおくと、
::: <math>h_2(p) = \frac{2^{(p-3)/2}}{R}|\mbox{det}M|</math> 。
:: 但し、''R'' は、<math>\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)</math>の単数基準とする。
== 注釈 ==
<references />
== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|last=高木|first=貞治|year=1971|title=代数的整数論 第2版|publisher=岩波書店|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=ボレビッチ|first=Z. I.|translator=佐々木義雄|coauthors=シャハレビッチ, I. R.|year=1972|title=整数論 (下)|publisher=吉岡書店|location=京都}}
* {{Cite book|和書|last=リーベンボイム|first=P.|translator=吾郷博顕|year=1989|title=フェルマーの最終定理 13講 第2版|publisher=共立出版|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=倉田|first=令二朗|year=1992|title=平方剰余の相互法則 -ガウスの全証明|publisher=日本評論社|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=河田|first=敬義|year=1992|title=数論 -古典数論から類体論へ-|publisher=岩波書店|location=東京}}
* {{Cite book|和書|last=ノイキルヒ|first=J.|translator=足立恒雄(監修)・梅垣敦紀|year=2003|title=代数的整数論|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|location=東京}}
* {{Cite journal|last=Masley|first=J. M.|title=Solution of the class number two problem for cyclotomic fields |journal=Invent. Math.|volume=28|year=1975|pages=243-244}}
== 関連項目 ==
*[[代数体]]
*[[1の冪根]]
*[[円分多項式]]
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