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6行目: 列''x''<sub>''n''</sub>のZ変換は以下の式で定義される: :{{Indent\|<math> \mathcal{Z}[x_n] = X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n z^{-n}</math>}} ここで''n''は[[整数]]で''z''は[[複素数]]である。なお後述の片側Z変換に対してこれを'''両側Z変換'''（two-sided Z-transform、bilateral Z-transform）と呼ばれる。 ''n''<0 で''x''<sub>''n''</sub>=0のような場合は、総和の範囲を 0 〜 ∞ で計算できる： :{{Indent\|<math> \mathcal{Z}[x_n] = X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x_n z^{-n}</math>}} これを元の定義と区別して'''片側Z変換'''（single-sided Z-transform、unilateral Z-transform）と呼ぶこともある。工学の分野などでは[[因果]]律を想定するので、こちらの式で定義することがある。二次元信号（例えば画像）に対する二次元Z変換の定義は類似的である： :{{Indent\|<math>\mathcal{Z}[x(n_1,n_2)] = X(z_1,z_2)=\sum_{n_1=-\infty}^{\infty}\sum_{n_2=-\infty}^{\infty} x(n_1,n_2) z_1^{-n_1}z_2^{-n_2}</math>}} === 収束領域 === なお、Z変換の級数は一般には発散することがある。収束する''z''の領域（収束領域）を以下のように書ける: :{{Indent\|<math>\mbox{ROC}=\left\{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_nz^{-n} < \infty\right\}</math>}} 厳密にはこの収束領域内においての''X''(''z'')を、''x''<sub>''n''</sub>のZ変換と定義する。二次元Z変換の収束領域の定義は類似する： :{{Indent\|<math>\mbox{ROC}=\left\{(z_1,z_2) : \sum_{n_1=-\infty}^{\infty}\sum_{n_2=-\infty}^{\infty} x(n_1,n_2) z_1^{-n_1}z_2^{-n_2} < \infty\right\}</math>}} == 逆Z変換 == Z変換の逆変換である'''逆Z変換'''（inverse Z-transform）は次のようになる: :{{Indent\|<math>x_n = \mathcal{Z}^{-1}[X(z)]=\frac{1}{2\pi i}\oint_C X(z)z^{n-1}\,dz</math>}} ここで''i''は[[虚数単位]]で積分路''C''は''X''(''z'')の極を全て含むような閉路である。 63行目: {{Main\|LTIシステム理論}} 離散時間のLTIシステムは以下の定数係数の線形差分方程式としてモデル化されることができる： :{{Indent\|<math>\sum_{i=0}^{N}a_{i}y(n-i)=\sum_{j=0}^{M}b_{j}x(n-j)</math>}} 一般には、<math>a_0=1</math>と認める。方程式の両辺をZ変換すると、 :{{Indent\|<math>Y(z)\sum_{i=0}^{N}a_{i}z^{-i} = X(z)\sum_{j=0}^{M}b_{j}z^{-j}</math>}} を得られて、 :{{Indent\|<math>H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\displaystyle \sum_{j=0}^{M}b_{j}z^{-j}}{\displaystyle \sum_{i=0}^{N}a_{i}z^{-i}}</math>}} は、[[伝達関数法\|伝達関数]]と呼ばれ、その分母多項式は[[特性多項式]]と呼ばれる。 79行目: Z変換は両側[[ラプラス変換]]を離散化したものである。つまり離散化された関数 :{{Indent\|<math>f(t)\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^\infty f_n \delta(t-nT)</math>}} のラプラス変換 :{{Indent\|<math>\sum_{n=0}^{\infty} f_n \delta(t-nT) e^{-snT}</math>}} に対応する。但し、''T''はサンプリング周期であり、''e''<sup>''sT''</sup>がZ変換における''z''に対応する。 90行目: == 変換表 == {\| border="1" cellspacing="0" \|- ! 元の関数 ''x''(''n'') !! Z変換 ''X''(''z'') !! 収束領域 120行目: * [[デジタルフィルタ]] ~~[[Category~~{{DEFAULTSORT:~~解析学\|~~せつとへんかん]]}} [[Category:~~信号処理\|せつとへんかん~~解析学]] [[Category:~~数学に関する記事\|せつとへんかん~~信号処理]] [[Category:数学に関する記事]] [[ar:تحويل زد]]

「Z変換」の版間の差分