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サイトnにあるポテンシャルをV<sub>n</sub>、[[自由電子]]（または無摂動）の[[ハミルトニアン]]をH<sub>0</sub>として、系を記述するハミルトニアンHを、
:{{Indent|<math> H =\, H_0 + \sum_n V_n </math>}}
とする。次にこれを以下のように変形する。
:{{Indent|<math> H = [H_0 + \tilde{V}(z)] + \sum_n [V_n - \tilde{V}_n(z)] = \tilde{H}(z) + v(z) </math> }}
ここで、
:{{Indent|<math> \tilde{V}(z) = \sum_n \tilde{V}_n (z) </math>}}
であり、<math> \tilde{V}_n(z) </math>は任意の周期ポテンシャル。つまりポテンシャルV<sub>n</sub>を周期的部分<math> \tilde{V} </math>と非周期的部分<math>\,v</math>とに分けた訳である。zは複素エネルギー。上式で、v(z)は次のようv<sub>n</sub>(z)の和になっている。
:{{Indent|<math> v(z) = \sum_n [V_n - \tilde{V}_n (z)] = \sum_n v_n(z) </math>}}
更に、この系における[[グリーン関数]]をG(z)とすると、G(z)は、
:{{Indent|<math> G(z) = {1 \over {z - \tilde{H} - v} } = {1 \over {(z - \tilde{H}) (1 - {v \over {z - \tilde{H}} }) }} </math>}}
であり、
:{{Indent|<math> \tilde{G} = {1 \over {z - \tilde{H} }} </math>}}
とし、非周期ポテンシャル部分vに関して展開すると、
{{Indent|
:<math> G(z) = \tilde{G} \{1 + v \tilde{G} + v \tilde{G} v \tilde{G} + \cdot \cdot \cdot \} = \tilde{G} + \tilde{G} T \tilde{G} </math>
:<math> T = v + v \tilde{G} v + v \tilde{G} v \tilde{G} v + \cdot \cdot \cdot </math> ▼
▲:<math> T = v + v \tilde{G} v + v \tilde{G} v \tilde{G} v + \cdot \cdot \cdot </math>
}}
となる。Tを'''総散乱行列'''と言う。総散乱行列Tをサイトの和の形で表すと、
:{{Indent|<math> T = \sum_n v_n + \sum_n v_n \tilde{G} \sum_m v_m + \sum_n \tilde{G} \sum_m v_m \tilde{G} \sum_p v_p \cdot \cdot \cdot </math>}}
となる。サイトnのポテンシャルv<sub>n</sub>のみを考え、[[散乱理論]]の場合と同じ要領でt行列が定義できる。
:{{Indent|<math> t_n = v_n \{1 + \tilde{G} v_n + \tilde{G} v_n \tilde{G} v_n \cdot \cdot \cdot \} = v_n {1 \over {1 - v_n \tilde{G} }} = v_n [1 - v_n \tilde{G}]^{-1} </math>}}
加えて、
:{{Indent|<math> t_n = v_n + v_n \tilde{G} \{ v_n + v_n \tilde{G} v_n + v_n \tilde{G} v_n \tilde{G} v_n \cdot \cdot \cdot \} = v_n + v_n \tilde{G} t_n </math>}}
である。総散乱行列TはサイトnでのT<sub>n</sub>の和、
:{{Indent|<math> T = \, \sum_n T_n </math>}}
と表現でき、各T<sub>n</sub>は、
:{{Indent|<math> \begin{matrix} T_n & = & v_n + v_n \tilde{G} \sum_m v_m + v_n \tilde{G} \sum_m v_m \tilde{G} \sum_p v_p + \cdot \cdot \cdot \\ \ & = & v_n \{ 1 + \tilde{G} [ \sum_m v_m + \sum_m v_m \tilde{G} \sum_p v_p + \cdot \cdot \cdot ] \} \\ \ & = & v_n [1 + \tilde{G} \sum_m T_m ] \end{matrix} </math>}}
更に、
:{{Indent|<math> T_n = v_n + v_n \tilde{G} T_n + v_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} T_m = t_n [1 + \tilde{G} \sum_{m \ne n} T_m ] </math>}}
である。ここで、
:{{Indent|<math> (1 - v_n \tilde{G})T_n = v_n + v_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} T_m, \quad \quad t_n = v_n [1 - v_n \tilde{G}]^{-1} </math>}}
よりt<sub>n</sub>が出てくる。以上から総散乱行列Tは、t行列により次のように表される。
:{{Indent|<math> T = \sum_n t_n + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \tilde{G} \sum_{p \ne m} t_p + \cdot \cdot \cdot </math> }}
==形式解の提示==
ここでポテンシャルが全て同じであると考える。そして総散乱行列Tを次のように分解する。
:{{Indent|<math> T = \, \sum_{n,n'}T_{nn'} </math>}}
分解されたT<sub>nn'</sub>は、
:{{Indent|<math> T_{nn'} = t_n \delta_{nn'} + t_n G_0 \sum_{m \ne n} T_{mn'} </math>}}
となる。G<sub>0</sub>は自由電子のグリーン関数とする（<math> \tilde{G} \to G_0 </math>）。これにより、厳密な形式解を得ることができる。T<sub>nn'</sub>は更に、
:{{Indent|<math> \begin{matrix} T_{nn'} & = & t_n \delta_{nn'} + t_n G_0 \sum_{m \ne n} (t_m \delta_{mn'} + t_m G_0 \sum_{p \ne m} T_{pn'}) \\ \ & = & t_n \delta_{nn'} + t_n G_0 t_{n'} + t_n G_0 \sum_{m \ne n} t_m G_0 t_{n'} + \cdot \cdot \cdot \end{matrix} </math>}}
となる。T<sub>nn'</sub>はサイトnから始まって、サイトn'で終わる全ての散乱過程を記述していることとなる。一方T<sub>n</sub>は、
:{{Indent|<math> T_n = \, \sum_{n'} T_{nn'} </math>}}
であり、これはサイトnは考慮されるが、終点としてのサイトn'を考えていない。そして、T<sub>nn'</sub>の形式解は（但し、ここで'''r'''→'''k'''への[[フーリエ変換]]及び、角運動量表示を導入している）、
{{Indent|
:<math> T_{nn'}^{LL'}(\kappa) = \tau_{n}^{l}(\kappa) [ \delta_{nn'}^{LL'} + \sum_{n_1,L_1} B_{nn_1}^{LL_1}(\kappa) \cdot T_{{n_1}n'}^{{L_1}L'}(\kappa)] </math>
{{Indent|
:: <math> T_{nn'} (\mathbf{k}, \mathbf{k'}) = (4 \pi)^2 \sum_{L,L'} Y_L (\mathbf{k}) T_{nn'}^{LL'} (k, k')Y_{L'} (\mathbf{k'}) </math> ： 角運動量表示}}
}}
となる（形式解導出の詳細は省略）。<math> B_{nn_1}^{LL_1} </math>は構造定数と言われるもので、結晶格子の種類にのみ依存する定数である。<math> \kappa = k = \sqrt{E} </math>であり。L,L',lなどは軌道角運動量に関しての指標である。τ<sub>n</sub>(κ)はt行列t<sub>n</sub>に相当する。ここで構造定数は具体的には、
{{Indent|
:<math> B_{nn_1}^{LL_1}(\kappa) = - [(4 \pi i \kappa) \sum_{L_1} i^{l-l'-l_1} C_{LL'L_1} Y_{L_1}(\mathbf{R}_n - \mathbf{R}_{n'}) h_l^{+}(\kappa |\mathbf{R}_n - \mathbf{R}_{n'}|) ](1 - \delta_{nn'}) </math>
:: {{Indent|<math> C_{LL'L_1} = \int Y_L(\mathbf{q}) Y_{L'} (\mathbf{q}) Y_{L_1}(\mathbf{q}) d \Omega_q </math> }}▼
}}
▲:: <math> C_{LL'L_1} = \int Y_L(\mathbf{q}) Y_{L'} (\mathbf{q}) Y_{L_1}(\mathbf{q}) d \Omega_q </math>
となる。<math> h_l^{+} </math>は[[球ハンケル関数]]、Y<sub>L</sub>は[[球面調和関数]]である。尚、形式解は次のようにも表される。
:{{Indent|<math> T_{nn'}^{LL'}(\kappa) = \{ [\tau^{-1}(\kappa) - B(\kappa)]^{-1} \}_{nn'}^{LL'} </math> }}
この形式解から、[[状態密度]]をD(E)の表式を得ることができる。この時、上式左辺を<math> T_{nn'}^{LL'}(\kappa) = T(\kappa) </math>と略して表示。
:{{Indent|<math> \begin{matrix} D(E) - D_0(E) & = & {2 \over {N \pi} } \mathrm{Im Tr} {d \over {dE} } \ln [T(\kappa)] \\ \ & = & - {2 \over {N \pi} } \mathrm{Im Tr} {d \over {dE} } \ln [\tau^{-1} - B(\kappa)] \\ \ & = & - {2 \over {N \pi} } \mathrm{Im Tr} [T(\kappa) ({ d \tau^{-1} \over {dE} } - { d B(\kappa) \over {dE} } ) ] \\ \ & = & - {2 \over {N \pi} } \mathrm{Im} \sum_{n,L} \sum_{n_1, L_1} T_{nn_1}^{LL_1} [ \delta_{{n_1}n}^{{L_1}L} {d (\tau_n^l (\kappa) )^{-1} \over {dE} } - {d \over {dE} } B_{{n_1}n}^{{L_1}L} (\kappa) ] \end{matrix} </math>}}
ここで、係数2はスピンの縮重度、Nは全サイト数、Imは虚数部分、Trはトレース（跡）を取ることを意味する。D<sub>0</sub>(E)は自由電子の状態密度。
グリーン関数から状態密度を求める式は（エネルギーは全てEとする）、
:{{Indent|<math> D(E) = - {1 \over {\pi}} \mathrm{Im} G(E) = - {1 \over {\pi}} \mathrm{Im} \{ \tilde{G}(E) + \tilde{G}(E) T(E) \tilde{G} (E) \} </math>}}
であり（スピン縮重度などの係数は省略）、ここで<math> \tilde{G}(E) \to G_0(E) </math>とすると、
:{{Indent|<math> \begin{matrix} D(E) = - {1 \over {\pi}} \mathrm{Im} G(E) & = & - {1 \over {\pi}} \mathrm{Im} \{ G_0(E) + G_0(E) T(E) G_0 (E) \} \\ \ & = & D_0 (E) - {1 \over {\pi}} \mathrm{Im} G_0(E) T(E) G_0(E) \end{matrix} </math>}}
となりD<sub>0</sub>(E)を移項すると、D(E) - D<sub>0</sub>(E)が出てくる。
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