「単位ベクトル」の版間の差分

編集の要約なし
 
 
<math>
<math>\boldsymbol{\mathit{a}}\cdot\boldsymbol{\mathit{e}}=|\boldsymbol{\mathit{a}}||\boldsymbol{\mathit{e}}|\cos\theta</math>
\boldsymbol{\mathit{a}}\cdot\boldsymbol{\mathit{e}}=
(\boldsymbol{\mathit{a}},\boldsymbol{\mathit{e}})=
\lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert\!\cdot\!
\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}\rVert\cos\theta</math>
 
 
となる.表記の中で,最もよく使われると思われるのは左辺と思われるが,数学では中央の形も用いられる.
となるので、<math>\boldsymbol{\mathit{a}}</math> の <math>\boldsymbol{\mathit{e}}</math> 方向の成分を取り出すことができる。
<math>\lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert</math>は,ベクトルの'''長さ'''を表している.
このように、ベクトルのある特定方向の成分だけを抽出したいときに使う場合が多い。
 
単位ベクトルは、数学では<math>\boldsymbol{\mathit{a}}</math> の <math>\boldsymbol{\mathit{e}}</math> で表される方向の成分を取り出すことが多い。できる.
このように、ベクトルのある特定方向の成分だけを抽出したいときに使う場合が多い.
 
一方,力学や電磁気などの理工学的な分野ではある方向を向いた(単位ベクトルは、数学ない)ベクトルを<math>\boldsymbol{\mathit{re}}</math>としたとき,<math>\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}</math>(<math>\boldsymbol{\hat{}}</math>は,カレット 'caret' と言う.)と記すされることが多い.
 
一方,力学や電磁気などの理工学的な分野ではある方向を向いた(単位ベクトルでない)ベクトルを<math>\boldsymbol{\mathit{r}}</math>としたとき,<math>\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}</math>(<math>\boldsymbol{\hat{}}</math>は,カレット 'caret' と言う.)と表記することが多い.数学の場合もカレットを表記する場合がある.
 
 
<math>\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}=\frac{\boldsymbol{\mathit{r}}}{|\boldsymbol{\mathit{r}}|}=\frac{\boldsymbol{\mathit{r}}}{r}</math>
<math>\lVert\boldsymbol{\mathit{a\hat{r}}}\cdotrVert=\frac{\boldsymbol{\mathit{er}}=}{|\boldsymbol{\mathit{ar}}||}=\frac{\boldsymbol{\mathit{er}}|\cos\theta}{r}</math>
 
 
と言う対応となる.
また、[[接線]]単位ベクトル(単位接ベクトル)、[[法線]]単位ベクトル(単位法ベクトル)、[[従法線]]単位ベクトル(単位従法ベクトル)のように、~単位ベクトルの形でそのベクトルの長さ絶対値が 1 であることを表すこともある。
 
==数学と物理の単位ベクトル==
数学の場合,n次元ベクトル空間<math>\boldsymbol{\mathit{V^n}}</math>まで考慮するため,座標系を表現するため単位ベクトルもn個現れるため,
 
 
<math>\boldsymbol{\mathit{e_1}}=\begin{pmatrix}1\\0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},
\boldsymbol{\mathit{e_2}}=\begin{pmatrix}0\\1\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},\cdots,
\boldsymbol{\mathit{e_n}}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}</math>
 
 
となり,長さは
 
 
<math>\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}\rVert=
\sqrt{\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}_1\rVert^2+
\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}_2\rVert^2+
\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}_3\rVert^2+\cdots+
\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}_n\rVert^2}</math>
 
 
 
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