「連分数」の版間の差分
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{a_2+\cfrac{1}{\ddots a_{n-1}+\cfrac{1}{\omega_n}}}}</math>}}
を求めることができる。もし ω が[[有理数]]ならば、この作業は有限回で終了するが、[[無理数]]ならば無限にこの作業が続く。
''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> は ω に収束する。すなわち
{{Indent|<math>\left| \omega - \frac{p_n}{q_n} \right| < \frac{1}{q_n^2}</math>}}▼
となることが知られており、連分数は[[ディオファントス近似]]の解を求める手段として有効である。▼
== 連分数の性質 ==
いま、''a''<sub>0</sub> は[[整数]]、それ以外の ''a''<sub>''n''</sub> は正の整数であるような数列{{Indent|<math>a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots</math>}}があるとき、数列 ''p''<sub>''n''</sub>, ''q''<sub>''n''</sub> を以下のように定める。
{{Indent|<math>
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このとき、連分数は
{{Indent|<math>[a_{0}; a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1
\frac{
{
となる。
''p''<sub>''n''</sub>と''q''<sub>''n''</sub>にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列''a''<sub>''0''</sub>,''a''<sub>''1''</sub>...''a''<sub>''n-1''</sub>のn個の整数が順番に現れる。上記の数列 ''p''<sub>''n''</sub>, ''q''<sub>''n''</sub> の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。
▲''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> は ω に収束する。すなわち連分数によりいくらでも実数ω に近い有理数を与えることができる。また、ω と連分数の差は
▲{{Indent|<math>\left| \omega - \frac{p_n}{q_n} \right| < \frac{1}{q_n^2}</math>}}
▲となることが知られており、連分数は[[ディオファントス近似]]の解を求める手段として有効である。
また、''
{{Indent|<math>\frac{p_n}{q_n} = \frac{F_{n+1}}{F_n}</math>}}▼
である。ところで、この連分数は例に示したように、[[黄金比]]に収束する。ゆえに隣会うフィボナッチ数列の比は黄金比に収束することが証明できる。▼
|''p''<sub>''n''+1</sub>''q''<sub>''n''</sub> - ''p''<sub>''n''</sub>''q''<sub>''n''+1</sub>| = 1 であ
なお数列''a''<sub>''n''</sub> が全て 1 の場合、 数列''p''<sub>''n''</sub>、''q''<sub>''n''</sub>はともに[[フィボナッチ数列]](''F''<sub>''0''</sub>=0, ''F''<sub>''1''</sub>=1 )である。すなわち
▲{{Indent|<math>\frac{p_n}{q_n} = \frac{F_{n+1}}{F_n}</math>}}
== 様々な数の連分数展開 ==
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