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「分散共分散行列」の版間の差分

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95行目:
# <math> \operatorname{var}(\mathbf{A X} + \mathbf{a}) = \mathbf{A}\, \operatorname{var}(\mathbf{X})\, \mathbf{A^\top} </math><br>
# <math> \operatorname{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \operatorname{cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X})^\top</math><br>
# <math> \operatorname{cov}(\mathbf{X_1X}_1 + \mathbf{X_2X}_2,\mathbf{Y}) = \operatorname{cov}(\mathbf{X_1X}_1,\mathbf{Y}) + \operatorname{cov}(\mathbf{X_2X}_2, \mathbf{Y})</math><br>
# もし''p'' = ''q''ならば、<math>\operatorname{var}(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) = \operatorname{var}(\mathbf{X}) + \operatorname{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) + \operatorname{cov}(\mathbf{Y}, \mathbf{X}) + \operatorname{var}(\mathbf{Y})</math><br>
# <math>\operatorname{cov}(\mathbf{AX}, \mathbf{B}^\top\mathbf{Y}) = \mathbf{A}\, \operatorname{cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) \,\mathbf{B}</math><br>
# もし<math>\mathbf{X}</math>と<math>\mathbf{Y}</math>が独立ならば、 <math>\operatorname{cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = 0</math>
 
ただし、<math>\mathbf{X}, </math>、<math>\mathbf{X_1X}_1</math> と <math>\mathbf{X_2X}_2</math> は、確率変数の <math>\mathbf{(p \times 1)}</math>の確率変数の ベクトル, 、<math>\mathbf{Y}</math> は <math>\mathbf{(pq \times 1)}</math>の ベクトル, 、<math>\mathbf{a}</math> は <math>\mathbf{(q \times 1)}</math>の ベクトル, 、<math>\mathbf{A}</math> と<math>\mathbf{B}</math> は <math>\mathbf{(q \times p)}</math>の 行列とする.。
 
この共分散行列は、シンプルではあるが、非常に多岐にわたる分野でとても有用なツールである。分散共分散行列からは、データの相関を完全に失わせるような写像を作る[[変換行列]]を作ることができる。これは、違った見方をすれば、データを簡便に記述するのに最適な基底を取っていることになる。(分散共分散行列のその他の性質やその証明については、[[:en:Rayleigh quotient]]を参照)
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