「形式主義 (数学)」の版間の差分

形式主義は、[[ダフィット・ヒルベルト]]によって主張された。その目的は数学をゲームと考えることによって、数学的実在に直接関わることなく、数学の無矛盾性を証明するためであった。（[[ヒルベルト・プログラム]]）

上記の点から、ヒルベルトの形式主義は、[[ブルバキ]]の[[公理論]]とは異なるものである。

 

形式主義によると、数学的命題は確実な文字列処理ルールを必要とする命題と考えられる。例として、（「公理」と呼ばれる文字列と、与えられた公理から新しい文字列を生成する「[[推論規則]]」からなるものとして見らる）[[ユークリッド幾何学]]の「ゲーム」では、[[ピタゴラスの定理]]が有効であることを証明できる（それは、あなたが、ピタゴラスの定理に対応する文字列を生成できることである）。数学的[[真理]]は、[[数]]や[[集合論|集合]]や三角形やそのようなものについて（{{Lang|en|about}}）のものではない。実際には、それらはすべてにおいて「アバウト（{{Lang|en|about}}）」ではない！

もうひとつの形式主義は[[演繹主義]]としてよく知られる。演繹主義では、ピタゴラスの定理は絶対的真実ではなく、相対的なものだが、もしあなたがゲームのルールが真実となるといった方法で文字列を考えているならば（いいかえれば、真の命題は公理に割り当てられ、推論と真実の保存のルールに割り当てられる）、そのときあなたは、その理論を受け入れなければならない。いやむしろ、あなたがそれに与えた解釈は真の命題でなければならない。[[同値]]はすべての他の数学的記述に関して真であると見なされる。従って、形式主義は数学が無意味な象徴ゲームでしかないことを意味する必要はない。それは通常、ゲームが適用するルールの様々な解釈が存在することが望まれている。（[[構造主義]]をこの立場になぞらえる） しかし、数学者が仕事を継続し[[哲学者]]や[[科学者]]にそのような問題を残すことは、数学者が働くことを可能にする。多くの形式主義者らは、実際に、研究された公理体系は、科学への要求や数学以外の分野によって提案されると言うだろう。

 

形式主義の偉大なる初期の発案者は[[ダフィット・ヒルベルト]]であった。彼の計画は[[ゲーデルの不完全性定理|完全]]でかつ[[無矛盾性|一貫性（{{Lang|en|consistent}}）]]のある数学の全ての公理化を目的としていた。（「一貫性、無矛盾性（{{Lang|en|consistent}}）」ここでは、システムに由来しうる矛盾がないことを意味する。） ヒルベルトは、「有限算術（{{Lang|en|finitary arithmetic}}）」（[[哲学]]的議論にならないために選ばれた[[自然数]]の通例の[[算数]]のサブシステム）に矛盾がないという仮説から数学的体系の一貫性を示すことを目標とした。完全かつ矛盾のない数学システムを作るヒルベルトの目標は、第二の[[ゲーデルの不完全性定理|ゲーデルの第二不完全性定理]]によって致命的な打撃を受けたが、十分に表現の富んだ矛盾のない公理体系はそれ自体の無矛盾性を決して証明できないことを述べた。そのような公理体系がサブシステムとして有限算術を含んでいるため、ゲーデルの定理はそれに対してシステムに矛盾がないことを証明できるとほのめかした（そしてそれ自身の完全性を証明できるため、ゲーデルは不可能であることを示した）。従って、数学の任意の公理システムが事実上矛盾がないことを示すため、数学の体系の無矛盾性が、証明された無矛盾性があるべき体系よりも意識上強いことを、まず仮定する必要がある。