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「シルベスター行列」の版間の差分

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m ロボットによる 追加: uk:Матриця Сильвестра
sty
3行目:
== 概要 ==
2つの多項式を以下のようにする。
{{Indent|''f''(''x'')<nowiki>=</nowiki>''a''<sub>0</sub>''x''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>1</sub>''x''<sup>''n''&minus;1−1</sup> + &hellip;… + ''a''<sub>''n''&minus;1−1</sub>''x'' + ''a''<sub>''n''</sub><br />
''g''(''x'')<nowiki>=</nowiki>''b''<sub>0</sub>''x''<sup>''m''</sup> + ''b''<sub>1</sub>''x''<sup>''m''&minus;1−1</sup> + &hellip;… + ''b''<sub>''m''&minus;1−1</sub>''x'' + ''b''<sub>''m''</sub>}}
このとき、(''m'' + ''n'') 個の変数をもつ連立方程式
{{Indent|<math>\begin{cases}
16行目:
\quad\qquad\qquad b_0 x_{n-1} + b_1 x_n + \cdots\cdots\cdots + b_m x_{m+n-1} &= 0
\end{cases}</math>}}
が自明でない解 ''x''<sub>''k''</sub> = &alpha;α<sup>''m''+''n''&minus;1&minus;−1−''k''</sup> (0 &le;≤ ''k'' &le;≤ ''m'' + ''n'' &minus;− 1) を持つことと、''f'', ''g'' が共通根 &alpha;α を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される (''m'' + ''n'') 次の[[正方行列]]である。
{{Indent|<math>
\begin{pmatrix}
a_{0} & a_{1} & \quad & \cdots & a_{n} & & & \\[5pt]
& a_{0} & a_{1} & \quad & \cdots & a_{n} & & 0 \\[5pt]
0 & & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\[5pt]
& & & a_{0} & a_{1} & \quad & \cdots & a_{n} \\[5pt]
b_{0} & b_{1} & \cdots & \quad & b_{m} & & & \\[5pt]
& b_{0} & b_{1} & \cdots & \quad & b_{m} & & 0 \\[5pt]
0 & & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\[5pt]
& & & b_{0} & b_{1} & \cdots & \quad & b_{m}
\end{pmatrix}
</math>}}
38行目:
<math>R(cf,g) = c^{\deg g}R(f,g),\quad R(f,cg) = c^{\deg f}R(f,g)</math>
}}
''f''(''x'') と ''g''(''x'') が共通根をもつための必要十分条件は ''R''(''f'',''g'') = 0 である。多項式 ''f''(''x'')=''a''<sub>0</sub>''x''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>1</sub>''x''<sup>''n''&minus;1−1</sup> + &hellip;… + ''a''<sub>''n''&minus;1−1</sub>''x'' + ''a''<sub>''n''</sub> が[[重根]]をもつための必要十分条件は ''f'' とその導多項式 ''f''&prime;′ が共通根を持つことであり、また、''f'' の[[判別式]] ''D''(''f'') が 0 となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として
{{Indent|<math>a_0 D(f) = (-1)^{n(n-1)/2}R(f,f')</math>}}
 
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[[Category:数学に関する記事]]
 
[[ca:Matriu de SylvesterMatriu_de_Sylvester]]
[[de:Sylvestermatrix]]
[[en:Sylvester matrixSylvester_matrix]]
[[fr:Matrice de SylvesterMatrice_de_Sylvester]]
[[it:Matrice di SylvesterMatrice_di_Sylvester]]
[[mn:Сильвестерийн_матриц]]
[[mn:Сильвестерийн матриц]]
[[th:เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์]]
[[uk:Матриця_Сильвестра]]
[[uk:Матриця Сильвестра]]
[[zh:西尔维斯特矩阵]]
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