「ヤコビ行列」の版間の差分
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==導関数とヤコビ行列==
これまでの議論では、一点<math>\textbf{p}</math>を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数<ref name=shima/>を定義する。
<math>\textbf D</math>を、<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>の[[開集合]]とし、
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とする。
「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、微分可能である」とは、「<math>\textbf D</math>内の全ての点において、(2-2)の意味で<math>\textbf{f}</math>が微分可能」であることを意味する。
このとき「<math>\textbf{f}</math>の<math>\textbf D</math>における導関数<math>{{\mathbf{f}}^{'}}</math>」とは、「<math>\textbf D</math>の点<math>\textbf{x}</math>と<math>\textbf{x}</math>における微分<math>{{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{x}]}}</math>を対応させる行列値の関数」である<ref name=shima/>。つまり、 <math>{\mathbf{f}}'(\mathbf{x})=</math><math>{{(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{x}]}}</math> (4-4)
である<ref name=shima/>。<math>{{\mathbf{f}}'}</math>のことを<math>J\mathbf{f}</math>や、<math>T\mathbf{f}</math>と書くこともある。また、(4-5)から、直ちに「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、微分可能」ならば、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、任意の<math>\textbf{a}</math>について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、任意の<math>\textbf{a}</math>について偏微分可能」であっても、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、微分可能」とは限らない。
「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、連続微分可能である」とは、「<math>\textbf{f}</math>が<math>\textbf D</math>で、<math>{{\mathbf{e}}_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf{e}}_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf{e}}_{n}}</math>全てについて偏微分可能であり、かつ<math>{{\mathbf{e}}_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf{e}}_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf{e}}_{n}}</math>についての偏導関数がすべて<math>\textbf D</math>で、連続であること」を意味する。
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