「ヤコビ行列」の版間の差分

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従って、(6-2-1)が分かる。
 
===ポアンカレの補助定理の準備===
(6-1-1)の<math>A</math>に対し、作用積分<math>{{U}_{[A,\mathbf{p}]}}</math>を定義する。
 
<math>\mathbf{p}=\left( \begin{matrix}
{{p}_{1}} \\
\vdots \\
{{p}_{n}} \\
\end{matrix} \right)</math>  (6-3-1)
 
を<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>の点とする。また、<math>\textbf D</math>を、<math>{\mathbb{R}^{n}}</math>の[[開集合]]とし、さらに<math>\textbf D</math>が<math>\textbf{p}</math>を中心に星型とする。
 
<math>\textbf D</math>が<math>\textbf{p}</math>を中心に星型とは、任意の<math>\textbf D</math>の点<math>\textbf{x}</math>と、任意の<math>s\in[0,1]</math>に対し、
 
<math>s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p}\in \textbf{D}</math>  (6-3-2)
 
であることを意味する。
 
<math>\textbf{p}</math>は固定されているものとする。また、
 
<math>\textbf{x}</math><math>=\left( \begin{matrix}
{{x}_{1}} \\
\vdots \\
{{x}_{n}} \\
\end{matrix} \right)</math>  (6-3-3)
 
も固定されていると考える。
 
式(6-1-1)の、<math>\textbf D</math>上で定義された1行n列の行列値関数<math>A</math>に対し、<math>{{\left. {{U}_{[A,\mathbf{p}]}} \right|}_{\mathbf{x}}}</math>を
 
<math>{{\left. {{U}_{[A,\mathbf{p}]}} \right|}_{\mathbf{x}}}</math>=<math>\int_{s=0}^{s=1}{\left( A(s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p})\centerdot \left( \begin{matrix}
{{x}_{1}}-{{p}_{1}} \\
\vdots \\
{{x}_{n}}-{{p}_{n}} \\
\end{matrix} \right) \right)ds}</math>  (6-3-4 )
 
と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数
 
<math>A(s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p})\centerdot \left( \begin{matrix}
{{x}_{1}}-{{p}_{1}} \\
\vdots \\
{{x}_{n}}-{{p}_{n}} \\
\end{matrix} \right)</math>  (6-3-5)
 
は、<math>s</math>についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、 <math>{{U}_{[A,\mathbf{p}]}}</math>を、点<math>\textbf{x}</math>と、
実数<math>{{\left. {{U}_{[A,\mathbf{p}]}} \right|}_{\mathbf{x}}}</math>を対応させる多変数スカラー値関数
 
<math>{{U}_{[A,\mathbf{p}]}}(\mathbf{x})</math><math>{{\left. ={{U}_{[A,\mathbf{p}]}} \right|}_{\mathbf{x}}}</math>  (6-3-6)
 
とする。以降、点<math>\textbf{x}</math>は、変数とみなす。
 
==ヤコビアンの性質==