「ニュートン法」の版間の差分
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:<math>x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2-2}{2x_n} </math>
と書き表せる。たとえば ''x''<sub>0</sub> = 1 とおくと、この数列は √2 に収束し、''x''<sub>0</sub> = -1 とおくと、この数列は -√2 に収束する。
== 理論 ==
:<math>f(x) = 0\,</math>
の解を考える。
<math>f(x)</math>
の
<math>x=x_0</math>
でのテーラー展開をすると
:<math>f(x) =f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+o((x-x_0))</math>
このとき、(右辺)=0の解は、(左辺)=0の根の
<math>x_0</math>での多項式次数一次の近似となっている。
右辺の解は
:<math>x=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime}(x_0)}</math>
次に、この近似値が、<math>x_0</math>より根に近づいている
ということに関する意味を考える。
上式を、次のような離散力学系として考える。
:<math>g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}</math>
:<math>x_{n+1} = g(x_n)</math>
この力学系において、<math>f(x^*)=0</math>
となる<math>x^*</math>は明らかに固定点である。
したがって、<math>x^*</math>が沈点(アトラクター)であり、
与えられた初期条件<math>x_0</math>が、このアトラクターの吸引領域に属していれば
<math>x_n</math>の<math>\omega</math>-極限(<math>n \rightarrow \infty</math>)は
<math>f(x^*)=0</math>となる<math>x^*</math>に収束する。
この様な収束性は、常に担保されてはいない。
例えばY軸の漸近線や関数<math>f(x)</math>の極値近傍では固定点が不安定になる事が知られている。
<ref>
{{
url=http://mathworld.wolfram.com/NewtonsMethod.html
|title=Newton's Method(Wolfram Math World)
|accessdate = 2010-06-08
}}</ref>
== 高次元の場合 ==
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