「ヤコビ行列」の版間の差分
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<ref name=shima>島 和久 (著)「多変数の微分積分学」近代科学社 (1991/09)</ref>
<ref name=warn>Frank W. Warner; "Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups (Graduate Texts in Mathematics)"Springer New York (2010) </ref> は、一変数スカラー値関数における接線の傾きを、多変数関数に拡張したものである。ヤコビ行列の行列式は、ヤコビアンと呼ばれる。
多変数ベクトル値関数
<math>
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{{\left. \frac{\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{1}}} \right|}_{\textbf{p}}} & \cdots & {{\left. \frac{\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{n}}} \right|}_{\textbf{p}}} \\
\end{matrix} \right)
</math>
'''ヤコビ行列'''は、一変数関数における接線の傾きを高次元に拡張したものであり、'''ヤコビアン'''は、変数変換による面積や体積の変化の比率を符号つきで表すもので、[[重積分]]の変数変換に現れる。いずれも、[[解析学]]、[[多様体]]論などで基本的な役割を果たすほか、[[最適化問題]]等の応用分野でも重要な概念である。▼
== 定義 ==
<math>\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}}{\mathop{\lim }}\,\,\,\left( \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x})-\left( \mathbf{A}(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\|} \right)=0</math>
をみたす <math>n\times m</math> 行列 <math>\textbf{A}</math> が存在することであるが、この<math>\textbf{A}</math>を
''f'' が ''D'' 全域で微分可能な場合、''p'' に対して ''J''<sub>''f''</sub>(''p'') を対応させる写像 <math>J_f: p \mapsto J_f(p)</math> についても、ヤコビ行列と呼ぶ。
なお、'''R'''<sup>''m''</sup>から'''R'''への[[射影]] <math>\pi_i</math> (''i'' = 1, 2, ... ''m'') について <math>f_i = \pi_i \circ f</math> とすると、''J''<sub>'''f'''</sub>(''p'') は ▼
▲なお、'''R'''<sup>''m''</sup>から'''R'''への[[射影]] <math>\pi_i</math> (''i'' = 1, 2, ... ''m'') について <math>f_i = \pi_i \circ f</math> とすると、''J''<sub>
<math>
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と等しいことが知られている。
''m'' = ''n'' の場合、ヤコビ行列は正方行列となり、その[[行列式]]を考えることができる。ヤコビ行列の行列式 |''J''<sub>''f''</sub>| を、'''ヤコビアン'''（または'''ヤコビ行列式'''、'''関数行列式'''）と呼ぶ。|''J''<sub>''f''</sub>| は以下のような記号で表記されることもある。▼
:<math>▼
|J_f|=\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_n)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}▼
</math>▼
== 性質 ==
ヤコビ行列は、実数変数実数値関数に関する微分係数の、自然な拡張となっている。特に、''n'' および ''m'' を 1 としたとき、(1, 1) 型行列と実数を同一視することにより、ヤコビ行列と微分係数は一致する。
ヤコビ行列は
<math>J_{g \circ f}(p) = J_g(f(p)) \cdot J_f(p)</math>
が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。
また、''m'' = ''n'' のとき、
<math>h := f|_{D'}: D' \rightarrow f(D')</math>
が[[全単射]]となり、
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となる ([[逆関数定理]])。
上の行列の性質について、それぞれ行列式をとることにより、
: <math>|J_{f \circ g}| = |J_f||J_g| </math>▼
▲''m'' = ''n'' の場合、ヤコビ行列は正方行列となり、その[[行列式]]を考えることができる。ヤコビ行列の行列式 |''J''<sub>''f''</sub>| を、'''ヤコビアン'''（または'''ヤコビ行列式'''、'''関数行列式'''）と呼ぶ。|''J''<sub>''f''</sub>| は以下のような記号で表記されることもある。
であり、
▲:<math>
: <math>|J_{f^{-1}}| = 1 / |J_f|</math>
▲|J_f|=\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_n)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}
▲</math>
▲:<math>|J_{f \circ g}| = |J_f||J_g| </math>
▲従って、逆関数のヤコビアンは |''J''<sub>''f''<sup>-1</sup></sub>| = 1 / |''J''<sub>''f''</sub>| となる。もし、|''J''<sub>''f''</sub>| = 0 となるような点 ''S'' があれば、その点で |''J''<sub>''f''<sup>-1</sup></sub>| は定義できない<!-- ため、その点での逆関数は存在しない。従って、対応は 1 対 1 にはならず、点 ''S'' に於ける座標変換は不可能となる -->。この時の ''S'' を[[特異点]]という。ヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。
▲'''ヤコビ行列'''は、一変数関数における接線の傾きを高次元に拡張したものであり、'''ヤコビアン'''は、変数変換による面積や体積の変化の比率を符号つきで表すもので、[[重積分]]の変数変換に現れる。いずれも、[[解析学]]、[[多様体]]論などで基本的な役割を果たすほか、[[最適化問題]]等の応用分野でも重要な概念である。
== 極座標系に関する具体例 ==
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