「ヤコビ行列」の版間の差分
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'''ヤコビ行列'''は、一変数関数における接線の傾きを高次元に拡張したものであり、'''ヤコビアン'''は、変数変換による面積や体積の変化の比率を符号つきで表すもので、[[重積分]]の変数変換に現れる。いずれも、[[解析学]]、[[多様体]]論などで基本的な役割を果たすほか、[[最適化問題]]等の応用分野でも重要な概念である。
== 定義 ==
''D'' を、''n'' 次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> の[[開集合]]とし、''f'' を ''D'' 上で定義され、'''R'''<sup>''m''</sup> に値を取る[[微分法#多変数関数の微分法|微分可能]]な多変数ベクトル値関数とする。''f'' が ''D'' 上の点 ''p'' で微分可能であるとは、
<math>\underset
''f'' が ''D'' 全域で微分可能な場合、''p'' に対して ''J''<sub>''f''</sub> (''p'') を対応させる写像 <math>J_f: p \mapsto J_f(p)</math> についても、ヤコビ行列と呼ぶ。
なお、'''R'''<sup>''m''</sup>から'''R'''への[[射影]] <math>\pi_i</math> (''i'' = 1, 2, ... ''m'') について <math>f_i = \pi_i \circ f</math> とすると、''J''<sub>''f''</sub> (''p'') は
<math>
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== 性質 ==
ヤコビ行列は、実数変数実数値関数に関する微分係数の、自然な拡張となっている。特に、''n'' および ''m'' を 1 としたとき、(1, 1) 型行列と実数を同一視することにより、ヤコビ行列と微分係数は一致する。
ヤコビ行列は ''f'' の ''p'' における [[一次近似]] であり、[[接平面]]間の[[線型写像]]とみなせる。このため、写像の合成を行列積で計算でき、 ''g'' が ''f'' (p) を含む領域 ''E'' から '''R'''<sup>''l''</sup> への関数であり、''f''(''p'') において微分可能であるとき、
<math>J_{g \circ f}(p) = J_g(f(p)) \cdot J_f(p)</math>
が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。
また、''m'' = ''n'' のとき、''f'' の ''p'' におけるヤコビ行列は正方行列であるが、ヤコビ行列が非退化である場合 (ヤコビ行列の[[階数]]が''n'' であるとき)、''f'' は 局所的に全単射とな
つまり、 ''p'' を含むある領域 ''D''<nowiki>'</nowiki> について、''f'' の ''D''<nowiki>'</nowiki> への制限 <math>h := f|_{D'}: D' \rightarrow f(D')</math>
が[[全単射]]となり、''f''(''p'') で微分可能であり、
<math>J_{h^{-1}}(h(p)) = (J_h(p))^{-1}</math>
となる ([[逆関数定理]])。
一方、 ''J''<sub>''f''</sub> (''p'') が退化している場合には、以下の二つの状況がありうる。
* ''f'' は ''p'' のまわりで局所的に全単射だが、逆関数が ''f'' (''p'') にて微分不可能 (例: ''x''<sup>3</sup>は 0 付近で全単射だが、逆関数は 0 付近で微分不可能)
* ''f'' は ''p'' のまわりで局所的にも全単射でない (例: ''x''<sup>2</sup> は 0 付近で局所的にも全単射でない)
この時の ''p'' を[[特異点]]という。ヤコビ行列及びヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。
== 極座標系に関する具体例 ==
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