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以下、''x'', ''y'' を[[実数]]値の変数、''t'' を実数値[[助変数]]とし、それ以外は[[数学定数|定数]]を表すものとする。
== 一般形 general form ==
直線の方程式の一般形 (general form) は
: <math>Ax + By + C = 0,\,</math>
の形で与えられるものである。ただし、''A'', ''B'' の少なくとも一方は 0 ではないものとする。慣習的に ''A'' ≥ 0 となるように書くのがふつうである。この方程式の[[グラフ (関数)|グラフ]]は[[直交座標系|座標平面]]上の直線であり、また平面上の全ての直線がこの一般形で表される。''A'' が 0 でないなら、直線の ''x''-切片（グラフが ''x''-軸 (''y'' = 0) と交わる点の ''x''-[[座標]]）の値は −''C''/''A'' であり、''B'' が 0 でなければ、''y''-切片（グラフが ''y''-軸 (''x'' = 0) と交わる点の ''y''-座標）の値は −''C''/''B'' である。また直線の[[傾き]]は −''A''/''B'' である。
where ''A'' and ''B'' are not both equal to zero. The equation is usually written so that ''A'' ≥ 0, by convention. The [[Cartesian coordinate system|graph]] of the equation is a [[line (geometry)|straight line]], and every straight line can be represented by an equation in the above form. If ''A'' is nonzero, then the ''x''-intercept, that is the ''x''-[[coordinate]] of the point where the graph crosses the ''x''-axis (''y'' is zero), is −''C''/''A''. If ''B'' is nonzero, then the ''y''-intercept, that is the ''y''-coordinate of the point where the graph crosses the ''y''-axis (x is zero), is −''C''/''B'', and the [[slope]] of the line is −''A''/''B''.
== 整標準形 standard form ==
直線の整標準形 (standard form) とは
: <math>Ax + By = C,\,</math>
の形の式で、''A'', ''B'' の少なくとも一方が 0 でなく、さらに ''A'', ''B'', ''C'' は最大公約数が 1 の整数となるものである。ただし、''A'' が 0 でないならば ''A'' > 0 となるようにし、''A'' = 0 のときは ''B'' > 0 となるようにするのが普通である。整標準形を一般形に直すのは容易いが、''A'' か ''B'' の一方が 0 のときにこれをほかの形に直せるとは限らない。この形で表せる直線はある程度限られてくるので、数学的にはさほど魅力があるわけでもないので、この形の標準形について触れられていない文献も少なくはない。たとえば、直線 ''x'' + ''y'' = √<span style = "text-decoration:overline">''2''</span> は √<span style = "text-decoration:overline">''2''</span> が無理数であるから、そもそも整数係数に直すことができない。
where ''A'', ''B'', and ''C'' are integers whose greatest common factor is 1, ''A'' and ''B'' are not both equal to zero, and ''A'' is non-negative (and if ''A'' = 0 then ''B'' has to be positive). The standard form can be converted to the general form, but not always to all the other forms if ''A'' or ''B'' is zero. It is worth noting that, while the term occurs frequently in school-level US textbooks, it makes little mathematical sense since most lines cannot be described by such equations. For instance, the line ''x'' + ''y'' = √<span style = "text-decoration:overline">''2''</span> cannot be described by a linear equation with integer coefficients since √<span style = "text-decoration:overline">''2''</span> is irrational.
== 傾き・切片標準形 slope–intercept form ==
{{main|一次函数}}
直線の傾き・切片標準形 (slope–intercept form) は、傾き ''m'' と ''y''-切片 ''b'' を与えて
:<math>y = mx + b\,</math>
の形に表される。''x'' = 0 とすれば ''y'' = ''b'' となるから、''b'' が確かに ''y''-軸との交点の ''y''-座標であることがわかる。''x''-軸に垂直な直線は（傾きが定義できないので）個の形では表せない。
where ''m'' is the slope of the line and ''b'' is the ''y''-intercept, which is the ''y''-coordinate of the point where the line crosses the ''y'' axis. This can be seen by letting ''x'' = 0, which immediately gives ''y'' = ''b''. Vertical lines, having undefined slope, cannot be represented by this form.
== 点・傾き標準形 point–slope form ==
直線の点・傾き標準形 (point–slope form) は、直線の傾き ''m'' と直線上の一点 (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) に対して、
:<math>y - y_1 = m( x - x_1 ) ,\,</math> ▼
の形に表される方程式である。点・傾き標準形と傾き・切片標準形とは互いに簡単に書き換えられる。
▲:<math>y - y_1 = m( x - x_1 ),\,</math>
点・傾き標準形は、直線上の二点間の ''y''-座標の差 (''y'' − ''y''<sub>1</sub) が ''x''-座標の差 (''x'' − ''x''<sub>1</sub>) に[[比例]]する（比例定数は、直線の傾き ''m'' である）という事実を表しているものと見ることができる。
where ''m'' is the slope of the line and (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) is any point on the line. The point-slope and slope-intercept forms are easily interchangeable.
== 切片二点標準形 intercept form == ▼The point-slope form expresses the fact that the difference in the ''y'' coordinate between two points on a line (that is, <math>y - y_1</math>) is proportional to the difference in the ''x'' coordinate (that is, <math>x - x_1</math>). The proportionality constant is ''m'' (the slope of the line).
直線の二点標準形 (two-point form) とは、直線上の二点 (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>), (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) (''x''<sub>1</sub> ≠ ''x''<sub>2</sub>) によって
:<math>y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) ,</math> ▼の形の式をいう。二点標準形は基本的に点・傾き標準形と同じものだが、こちらでは直線の傾きが点の座標を用いて
: <math>\frac{ x}{a}y_2 +- \frac{yy_1}{ b}x_2 =- 1,x_1}</math> ▼という形に陽に与えられている
== 二点切片標準形 two-point form ==
直線の切片標準形 (intercept form) は
: <math>\frac{ |C|x}{ -Ca} \sqrt{A^2 + B^2\frac{y} .{b} = 1</math> ▼という形である。この形にかけるということは ''a'', ''b'' ともに 0 であってはならない。この形の方程式のグラフは ''x''-切片が ''a'', ''y''-切片が ''b'' となるので、式を見ただけで切片が直ちにわかる。切片標準形は ''A'' = 1/''a'', ''B'' = 1/''b'', ''C'' = −1 とおけば一般形で表すことができ、''a'', ''b'' が整数ならば ''A'' = 1/''a'', ''B'' = 1/''b'', ''C'' = 1 とおくことで整標準形になる。
== パラメータ表示 parametric form == ▼▲:<math>y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1),</math>
ふたつの変数 ''x'', ''y'' の関係を陰に記述する直線のパラメータ表示の標準形 (parametric form) は ''t'' をパラメータとする[[連立方程式]]
where <math>(x_1,y_1)</math> and <math>(x_2,y_2)</math> are two points on the line with <math>x_2</math> ≠ <math>x_1</math>. This is equivalent to the point-slope form above, where the slope is explicitly given as <math>\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>.
:<math> \begin{cases} x = T t + U\ ,\y = V t + W\end{cases}</math> ▼である。このとき、直線の傾きは ''m'' = ''V'' / ''T'', ''x''-切片は (''VU''−''WT'') / ''V'', ''y''-切片は (''WT''−''VU'') / ''T'' で与えられる。この表示は二点標準形とも関係がある。実際 ''T'' = ''p'' − ''h'', ''U'' = ''h'', ''V'' = ''q''−''k'', ''W'' = ''k'' とおいたとき、
:<math> \begin{cases}x = (p - h) t + h\ ,\y = (q - k)t + k\end{cases}</math> ▼と表せるが、ここで ''t'' = 0 とすれば点 (''h'', ''k'') を表し、''t'' = 1 とすれば点 (''p'', ''q'') に対応する。さらに 0 < ''t'' < 1 とすれば対応する点はいまの二点の [[内挿|内分点]]を与え、それいがいの値では[[外挿|外分点]]に対応する。
▲== 切片標準形 intercept form ==
▲: <math>\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1,</math>
where ''a'' and ''b'' must be nonzero. The graph of the equation has ''x''-intercept ''a'' and ''y''-intercept ''b''. The intercept form can be converted to the standard form by setting ''A'' = 1/''a'', ''B'' = 1/''b'' and ''C'' = 1.
▲== パラメータ表示 parametric form ==
▲:<math>x = T t + U\,</math>
and
:<math>y = V t + W.\,</math> ▼Two [[simultaneous equations]] in terms of a variable parameter ''t'', with slope ''m'' = ''V'' / ''T'', ''x''-intercept (''VU''−''WT'') / ''V'' and ''y''-intercept (''WT''−''VU'') / ''T''.
This can also be related to the two-point form, where ''T'' = ''p''−''h'', ''U'' = ''h'', ''V'' = ''q''−''k'', and ''W'' = ''k'':
▲:<math>x = (p - h) t + h\,</math>
and
:<math>y = (q - k)t + k.\,</math> ▼In this case ''t'' varies from 0 at point (''h'',''k'') to 1 at point (''p'',''q''), with values of ''t'' between 0 and 1 providing [[interpolation]] and other values of ''t'' providing [[extrapolation]].
{{main|極座標}}
直線の方程式を極座標で考えれば極方程式表示 (polar form)
:<math>r=\frac{mr\cos\theta+b}{\sin\theta},</math>
where m is the slope of the line and b is the [[y-intercept]]. When ''θ = 0'' the graph will be undefined. Thus, the equation can be rewritten to eliminate discontinuities:
が得られる。ここで、''m'' は直線の傾きで、''b'' は ''y''-切片である。これは ''θ'' = 0 のとき定義できないので、不連続性を除くために分母を払って
:<math>r\sin\theta=mr\cos\theta+b.\,</math>
のように書くこともある。
== ヘッセの標準形 normal form ==
{{main|ヘッセ標準形}}
[[file:Rownanie_normalne_prostej.svg|thumb|right|法線は直線に直交する。法線の長さ ''p'' は直線と原点との距離である。法線の傾斜角 α は直線が ''y''-軸の正の方向と成す角に等しい。]]
: <math> y \sin \phi + x \cos \phi - p = 0,\,</math>
法線標準形 (normal form) と呼ばれる直線の標準形
where <math> \phi</math> is the angle of inclination of the normal and ''p'' is the length of the normal. The normal is defined to be the shortest segment between the line in question and the origin. Normal form can be derived from general form by dividing all of the coefficients by
▲: <math> y =\sin V t\phi + W.x \ ,cos \phi - p = 0</math>
は、ドイツの数学者[[オットー・ヘッセ]]に因んでヘッセ標準形 (Hesse standard form) とも呼ばれる。ここで φ は直線の法線の傾斜角であり、''p'' は法線の長さである。ここでいう法線 (normal) は直線と原点とを結ぶ最短の線分のことを指している（一般には[[法線]]は一般の曲線や曲面などに対して「直交する直線」の総称であるので注意）。ヘッセ標準形は標準形の式で各係数を
▲:<math>\frac{|C|}{-C}\sqrt{A^2 + B^2}.</math>
▲:<math> y = (q \frac{|C|}{- k)tC}\sqrt{A^2 + k.\,B^2}</math>
で割ることによって得られる。
This form is also called the Hesse standard form, after the German mathematician [[Otto Hesse|Ludwig Otto Hesse]].
== 退化形 special cases ==
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