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m ロボットによる 追加: et:Kineetiline energia
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{{古典力学}}
'''運動エネルギー'''（うんどうエネルギー、kinetic energy）は、[[運動 (物理学)|運動]]している[[物体]]が持つ[[エネルギー]]。運動している物体の速度を停止変化させるために必要なエネルギー（[[仕事 (物理学)|仕事]]）。
 
==直線運動の運動エネルギー==
[[ニュートン力学]]的（非相対論的、古典的）には、等速直線運動をする物体の運動エネルギー K は、[[質量]] m と[[速さ]] v の2乗に比例する。すなわち、
 
{{Indent|:<math>EK = \frac{1 \over }{2}mv^2</math>}}
 
質量 m の質点が、時刻 <math>0 \to t</math> で、速度が <math>\mathbf{v}_0 \to \mathbf{v}_1</math> と変化したとすると、そのときに質点にした仕事 W は
これは運動方程式
 
{{Indent|:<math>W m= \int_0^t \!\!dt\,\frac{d \mathbf{vx}} \over {dt} } = \cdot\mathbf{F} </math>}}
::<math>=\int_0^t \!\!dt\, \mathbf{v}\cdot m\frac{d\mathbf{v}}{dt}
\qquad\qquad\Bigl(\mathbf{F}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\Bigr)</math>
::<math>=\int_0^t \!\!dt\, \frac{d}{dt}\Bigl( \frac{1}{2}m|\mathbf{v}|^2 \Bigr)</math>
{{Indent|::<math>=\frac{1 \over }{2}m|\mathbf{v}_1|^2 - \frac{1 \over }{2}m|\mathbf{v_0v}_0|^2= F\Delta x</math>}}▼
 
以上より、▼
を変位において[[定積分]]することによって得られる。
 
:<math>K(v_1)=K(v_0)+W(v_0\to v_1)</math>
すなわち、変位が ( <math>0 \to{x}\quad</math> ) となったとき速度が ( <math>0 \to{v}\quad</math> ) に変化した。このとき、一定の力'''F'''が加えられていたとすると
 
これはエネルギー積分とも呼ばれつまり、「'''物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事量に等しい」ことを意味する'''。▼
*左辺：<math>\int_{0}^{x} m {d \mathbf{v} \over {dt} }\, dx = \int_{0}^{v} mv\, dv ={1 \over 2}m \mathbf{v}^2</math>
*右辺：<math>\int_{0}^{x} F\, dx = Fx</math>
 
また、このとき、変位が <math> x \to x+\Delta x</math> とすると、
▲以上より
 
{{Indent|:<math>{1 \over 2}m\mathbf{v}^2 - {1 \over 2}m\mathbf{v_0}^2= FxF\Delta x</math>}}
これはエネルギー積分とも呼ばれる。
 
また、変位が (<math> x \to x+\Delta x</math>) となったとき速度が (<math> v_0 \to v</math>) に変化したとき同様の計算を行うと、
 
▲{{Indent|<math>{1 \over 2}m\mathbf{v}^2 - {1 \over 2}m\mathbf{v_0}^2= F\Delta x</math>}}
▲これはエネルギー積分とも呼ばれ、「物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事量に等しい」ことを意味する。
 
一方、上述の数学的証明がなされる以前、[[ガリレオ・ガリレイ|ガリレオ]]によって、物体の[[振り子運動]]の観察により、物体の速度をｖ、高さをｈ、重力加速度をｇ、とすることで、
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