「順序数」の版間の差分

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== 定義 ==
整列集合 (''A'', <) に対して、''A'' を[[写像|定義域]]とする[[写像|関数]] ''G'' を超限再帰的に、
: ''G''(''a'') = ''G''[seg(''a'')] = { ''G''(''x'') | ''x'' < ''a'' }
と定義したとき、''G'' の[[写像|値域]] ran(''G'') を''' (''A'', <) の順序数'''といい、これを on(''A'', <) で表す。ある整列集合の順序数であるような[[集合]]を'''順序数'''と呼ぶ。
 
 
(注)  順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (''A'', <) の "同値類" を (''A'', <) の'''順序型'''(order type)と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。ところが現代の集合論においては、''A'' が空集合でない限り (''A'', <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義(あるいはそれと同値な定義)が広く用いられている。だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。ただし、整列集合の順序型と順序数は異なる別のものになる。
{{main|順序型}}
 
# (&alpha;<sup>&beta;</sup>)<sup>&gamma;</sup> = &alpha;<sup>&beta; &middot; &gamma;</sup> 。
# (&beta; &middot; &gamma;)<sup>&alpha;</sup> = (&beta;<sup>&alpha;</sup>) &middot; (&gamma;<sup>&alpha;</sup>) は一般には成り立たない。
# 0 でない順序数 &alpha; と 1 より大きな順序数 &beta; に対して、&alpha; = (&beta;<sup>&gamma;</sup> &middot; &delta;) + &rho; かつ 0 ≠ &delta; &lt; &beta; かつ &rho; &lt; &beta;<sup>&gamma;</sup> をみたす順序数の組 &gamma;, &delta;, &rho; がただ一組存在する。
 
== 集合の濃度と基数 ==
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