「順序数」の版間の差分

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[[数学]]でいう'''順序数'''(じゅんじょすう、ordinal number)とは、[[集合論]]において[[順序集合#整列集合|整列集合]]同士の"長さ"を比較するために、[[自然数# 形式的な定義|自然数]]を拡張させた概念である。
 
== 定義 ==
 
===== 例 =====
&lt;<sub>''N''&omega;</sub> は自然数の通常の大小関係(を各集合に制限したもの)を表すものとすると、
: on(&empty;, &lt;<sub>''N''&omega;</sub>) = &empty; = 0,
: on({ 02 }, &lt;<sub>''N''&omega;</sub>) = { &empty; } = { 0 } = 1,
: on({ 02, 13 }, &lt;<sub>''N''&omega;</sub>) = { &empty;, { &empty; } } = { 0, 1 } = 2,
: on({ 02, 13, 25 }, &lt;<sub>''N''&omega;</sub>) = { &empty;, { &empty; }, { &empty;, { &empty; } } } = { 0, 1, 2 } = 3
 
この例から推測されるように、一般に自然数有限の整列集合 ''n'' に対して ''N''(''n'') = { ''m'' &isin; <math>\mathbb{N}</math> | ''mA'', &lt;) ''n''に対して } としたとき、on(''NA''(''n''), &lt;<sub>) は ''NA''</sub>) 要素の個数が ''n'' に等しい。特に、任意集合となる。そこで自然数 ''n'' に対して on(''N''(''n''), &lt;<sub>''N''</sub>) と等しいものとみなし、on(''N''(''n''), &ltomega;<sub>''N''</sub>) のことを= ''n'' が成り立つの、自然数は。したがっ、例えば 0 = &empty;, 1 = { &empty; } = { 0 }, 2 = { &empty;, { &empty; } } = { 0, 1 }, 3 = { &empty;, { &empty; }, { &empty;, { &empty; } } } = { 0, 1, 2 } 順序数である。
 
順序数に関して次が成り立つ:
# &alpha; が順序数のとき、&alpha; の要素もすべて順序数である。
 
自然数全体の集合 &omega; は &isin; によって整列された推移的な集合なので、上の事実 4. より &omega; は順序数である。
どの自然数 ''n'' に対しても (''N''(''n''), &lt;<sub>''N''</sub>) は整列集合 (<math>\mathbb{N}</math>, &lt;<sub>''N''</sub>) と同型でない。したがって上の事実 1. により on(<math>\mathbb{N}</math>, &lt;<sub>''N''</sub>) はどの自然数とも異なるので、これを &omega; で表す。
== 順序数の大小関係 ==
: &alpha; &isin; &beta; かつ &beta; &isin; &gamma; &rArr; &alpha; &isin; &gamma;,
: &alpha; &isin; &beta; または &alpha; = &beta; または &beta; &isin; &alpha; 。
そこで、&alpha; &isin; &beta; のとき &beta; は &alpha; より大きいといい、&alpha; &lt; &beta; と書く。この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。&omega; より小さな順序数(すなわち自然数)を'''有限順序数'''と呼び、&omega; 以上の(すなわち &omega; と等しいか &omega; より大きい)順序数を'''超限順序数'''と呼ぶ。順序数の大小関係に関して次が成り立つ:
# 整列集合 (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) が整列集合 (''B'', &lt;<sub>B</sub>) のある始切片と同型のとき、またそのときに限り on(''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) &lt; on(''B'', &lt;<sub>B</sub>)。
# 自然数の範囲では、上で定義された大小関係は通常の大小関係と一致する。
# 順序数 &alpha; が自然数であることと有限順序数であることは同値である。
# &alpha; が順序数のとき、''S''(&alpha;) := &alpha; &cup; { &alpha; } は &alpha; より大きな順序数のうちで最小のものである。
# ''O'' が順序数からなる集合のとき、<math>\bigcup</math> ''O'' もまた順序数であり、''O'' の[[最小上界]]となっている。そこで、<math>\bigcup</math> ''O'' を sup(''O'') とも書く。
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