「順序数」の版間の差分

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{{Otheruses|数学的な観点からの順序数|言語学的な観点での順序数|序数詞}}
[[数学]]でいう'''順序数'''(じゅんじょすう、ordinal number)とは、[[集合論]]において[[順序集合#整列集合|整列集合]]同士の"長さ"を比較するために、[[自然数]]<ref>本項目では、各自然数が自分自身より小さな自然数全体の集合と等しくなるような仕方で自然数が定義されているものとする。例えば、0 = &empty; , 1 = { 0 } , 2 = { 0, 1 } である。このような自然数の定義の仕方についての詳細は「[[自然数#形式的な定義|自然数]]」を参照。</ref>を拡張させた概念である。
 
== 定義 ==
整列集合 (''A'', &lt;) に対して、''A'' を[[写像|定義域]]とする[[写像|関数]] ''G'' を超限再帰的に、
: ''G''(''a'') = { ''G''(''x'') | ''x'' &lt; ''a'' }
と定義したとき、''G'' の[[写像|値域]] ran(''G'') を''' (''A'', &lt;) の順序数'''といい、これを on(''A'', &lt;) で表す。ある整列集合の順序数であるような[[集合]]を'''順序数'''と呼ぶ<ref>順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (''A'', &lt;) の "同値類" を (''A'', &lt;) の'''順序型'''(order type)と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。ところが現代の標準的な集合論においては、''A'' が空集合でない限り (''A'', &lt;) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義(あるいはそれと同値な定義)が広く用いられている。だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「[[順序型]]」を参照。</ref>
{{main|順序型}}</ref>
 
===== 例 =====
そこで、&alpha; &isin; &beta; のとき &beta; は &alpha; より大きいといい、&alpha; &lt; &beta; と書く。この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。&omega; より小さな順序数(すなわち自然数)を'''有限順序数'''と呼び、&omega; 以上の(すなわち &omega; と等しいか &omega; より大きい)順序数を'''超限順序数'''と呼ぶ。順序数の大小関係に関して次が成り立つ:
# 整列集合 (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) が整列集合 (''B'', &lt;<sub>B</sub>) のある始切片と同型のとき、またそのときに限り on(''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) &lt; on(''B'', &lt;<sub>B</sub>)。
# 自然有限順序数の範囲では、上で定義された大小関係は通常の大小関係と一致する。
# &alpha; が順序数のとき、''S''(&alpha;) := &alpha; &cup; { &alpha; } は &alpha; より大きな順序数のうちで最小のものである。
# ''O'' が順序数からなる集合のとき、<math>\bigcup</math> ''O'' もまた順序数であり、''O'' の[[最小上界]]となっている。そこで、<math>\bigcup</math> ''O'' を sup(''O'') とも書く。
: 0, 1, 2, 3, ............, &omega;, ''S''(&omega;), ''S''(''S''(&omega;)), ''S''(''S''(''S''(&omega;))), ............, &omega; + &omega;, ''S''(&omega; + &omega;), ''S''(''S''(&omega; + &omega;)), ''S''(''S''(''S''(&omega; + &omega;))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に ''S''(0) = 1, ''S''(''S''(0)) = 2, ''S''(''S''(''S''(0))) = 3, ... と有限順序数(自然数が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 &omega; である。&omega; の後にはまたその後続者たちが ''S''(&omega;), ''S''(''S''(&omega;)), ''S''(''S''(''S''(&omega;))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界(後に &omega; + &omega; と呼ばれる)が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
 
== ブラリ=フォルティの定理 ==
 
== 順序数の演算 ==
順序数の間には自然数の場合と同じく和、積、冪が定義できる。特に有限順序数(自然数)の間の演算は通常のそれと一致する。
 
=== 和 ===
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