「順序数」の版間の差分

編集の要約なし
=== 和 ===
α, β を順序数とする。
整列集合 (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) を onord(''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) = &alpha;, onord(''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) = &beta;, ''A'' &cap; ''B'' = &empty; をみたすように取り、''A'' &cup; ''B'' 上の関係 &lt;<sub>''A''</sub> &oplus; &lt;<sub>''B''</sub> を、
 
: ''x'' (&lt;<sub>''A''</sub> &oplus; &lt;<sub>''B''</sub>) ''y''  &hArr;  ''x'' &lt;<sub>''A''</sub> ''y'' または ''x'' &lt;<sub>''B''</sub> ''y'' または <''x'', ''y''> &isin; ''A'' × ''B''
によって定義すれば、(''A'' &cup; ''B'', &lt;<sub>''A''</sub> &oplus; &lt;<sub>''B''</sub>) は整列集合であり、その順序数は (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) の特定の取り方によらず一定である。そこで onord(''A'' &cup; ''B'', &lt;<sub>''A''</sub> &oplus; &lt;<sub>''B''</sub>) を &alpha; と &beta; の'''和'''といい、これを &alpha; + &beta; で表す。直観的には、&alpha; + &beta; というのは &alpha; の後ろに &beta; を並べてできる整列集合の順序数である。
 
順序数の和について次が成り立つ:
=== 積 ===
&alpha;, &beta; を順序数とする。
整列集合 (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) を onord(''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) = &alpha;, onord(''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) = &beta; をみたすように取り、''A'' × ''B'' 上の関係 &lt;<sub>''A''</sub> &otimes; &lt;<sub>''B''</sub> を、
 
: <''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>> (&lt;<sub>''A''</sub> &otimes; &lt;<sub>''B''</sub>) <''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>>  &hArr;  ''y''<sub>1</sub> &lt;<sub>''B''</sub> ''y''<sub>2</sub> または (''y''<sub>1</sub> = ''y''<sub>2</sub> かつ ''x''<sub>1</sub> &lt;<sub>''A''</sub> ''x''<sub>2</sub>)
 
によって定義すれば、(''A'' × ''B'', &lt;<sub>''A''</sub> &otimes; &lt;<sub>''B''</sub>) は整列集合であり、その順序数は (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) の特定の取り方によらず一定である。そこで onord(''A'' × ''B'', &lt;<sub>''A''</sub> &otimes; &lt;<sub>''B''</sub>) を &alpha; と &beta; の'''積'''といい、これを &alpha; &middot; &beta; で表す。直観的には、&alpha; &middot; &beta; というのは &alpha; を &beta; 個並べてできる整列集合の順序数である。
 
順序数の積について次が成り立つ:
=== 冪 ===
&alpha;, &beta; を順序数とする。
整列集合 (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) を onord(''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) = &alpha;, onord(''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) = &beta; をみたすように取り、''F''(''A'', ''B'') = { ''f'' &isin; <sup>''B''</sup>''A'' | { ''b'' &isin; ''B'' | ''f''(''b'') ≠ min(''A'') } は有限集合 } 上の関係 &lt;<sub>''A''</sub> △ &lt;<sub>''B''</sub> を、
 
: ''f'' (&lt;<sub>''A''</sub> △ &lt;<sub>''B''</sub>) ''g''  &hArr;  ''f'' ≠ ''g'' かつ、 ''f''(''b'') ≠ ''g''(''b'') をみたす最大の ''b'' &isin; ''B'' に対して ''f''(''b'') &lt;<sub>''A''</sub> ''g''(''b'')
 
によって定義すれば、(''F''(''A'', ''B''), &lt;<sub>''A''</sub> △ &lt;<sub>''B''</sub>) は整列集合であり、その順序数は (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) の特定の取り方によらず一定である。そこで onord(''F''(''A'', ''B''), &lt;<sub>''A''</sub> △ &lt;<sub>''B''</sub>) を '''&alpha; の &beta; 乗'''といい、これを &alpha;<sup>&beta;</sup> で表す。
 
順序数の冪について次が成り立つ:
匿名利用者