「ペル数」の版間の差分
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n番目のペル数は
:<math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}</math>
という式で表
[[行列]]では以下のように表現される。
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ここから以下の[[恒等式]]が導かれる。
:<math>P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n</math>
この式はペル数を[[フィボナッチ数]]に入れ替えても
<math>\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1</math> の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は
:<math>\frac{P_{n-1}+P_n}{P_n} = \frac11, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots</math> とだんだん[[√2]]の値に近
ペル数の
ペル数を使った以下の式で[[平方三角数]]を計算できる。
:<math>\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.</math>
左辺は[[平方数]]、右辺は[[三角数]]を表
また以下の式で a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup> を満たす[[ピタゴラス数]]を表
:<math>(a,b,c)=(2P_{n}P_{n+1} , P_{n+1}^2 - P_{n}^2 , P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1})</math>
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