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'''閉集合'''（へいしゅうごう）は、その[[補集合]]が[[開集合]]となる[[集合]]のこと。[[距離空間]]の場合はその[[部分集合]]の元からなる任意の[[収束]][[点列]]の[[極限]]がその部分集合の元であることと一致するので、それを定義としてもよい。
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例えば、[[数直線]]上で不等式 0 ≤ ''x'' ≤ 1 によって定まる集合は[[閉区間]]と呼ばれるが、これは閉集合である。なぜならば、その補集合である ''x'' < 0 または ''x'' > 1 を満たす区間が開集合となるからである。
不等式を 0 < ''x'' < 1 としたものや 0 ≤ ''x'' < 1 としたものは、閉集合ではない。
また、[[連続関数]] <math>f(x,y)</math> を使って、<math>\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)\le c\}</math> と表わされる集合は[[平面]]の閉集合である。[[円周]]も平面の閉集合である。
次の性質を満たす集合 ''X'' の部分集合の族 ''F'' があると、 ''F'' の元が閉集合であるような[[位相]]が ''X'' に定まる。<br />
(i) [[空集合]]と ''X'' 自身は ''F'' の元<br />
(ii) ''G'' と ''H'' が ''F'' の元のとき、''G'' と ''H'' の[[和集合]]は ''F'' の元<br />
(iii) {''F''<sub>''a''</sub>}を ''F'' の元からなる族とするとき、[[積集合|共通部分]] <math>\bigcap_a F_a</math> は''F'' の元<br />
このように位相を定義するときは、開集合を閉集合の補集合として定義する。
==性質==
* 必ずしも有限個でない閉集合の共通部分は閉集合である。
* 有限個の閉集合の和集合は閉集合である。無限個の場合はその限りではない。
* 閉集合の補集合は開集合であり、また開集合の補集合は閉集合である。
==参考文献==
*内田伏一 『位相入門』 [[裳華房]]、1997年。
==関連項目==
* [[距離空間#開集合と閉集合|距離空間]]
* [[集合論]]
[[Category:位相幾何学|へいしゆうこう]]
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