「フェリックス・クライン」の版間の差分

彼の幾何学における最も重要な業績ともいわれるのが'''[[エルランゲン・プログラム]]'''<ref>''[[変換 (数学)|変換]]と[[不変量]]を基にした幾何学の特徴付け''、クラインがエアランゲン大学の教授だった頃に作られたことに因む。</ref>である。彼は幾何学を[[図形]]（[[空間]]）にある変換を施したときに変わらない性質を研究する[[学問]]であるとした。<ref>[[集合論]]の言葉を用いれば与えられた[[集合]]と[[変換群]]が与えられ、その変換に対して変化しない集合の性質を調べることと言い換えられる。</ref>例えば[[ユークリッド幾何学]]では[[回転]]、[[鏡映]]、[[平行移動]]の3つの変換<ref>正確には[[単位元]]として全く動かさない変換である[[恒等変換]]がある。これらは合わせて''[[ユークリッド変換]]''、''[[剛体変換]]''などと呼ばれ、それらのなす[[群 (数学)|群]]を[[ユークリッド群]]と呼ぶ。</ref>が許されており、不変量としては[[長さ]]、[[角度]]、[[面積]]などが挙げられる。また[[射影幾何学]]においては[[射影変換]]が許されているので角度や長さは不変量とはならないが直線はあくまでも直線であり[[複比]]も保存される。（クラインは[[射影変換群]]がユークリッド群より本質的に大きいことを示した。つまり射影幾何学とユークリッド幾何学は構造的に異なるということである。この成果は射影幾何学における最後の大発見ともいわれる。）[[位相幾何学]]（トポロジー）では[[連続変換]]（[[ホメオモルフィズム]]）が許されておりこのときは図形の[[連結性]]以外は保存されない。<ref>トポロジーにおける不変量としては[[オイラー標数]]や[[ベッチ数]]、[[ホモトピー群]]などがあるが完全な分類に使えるものは発見されていない。これは有名な[[ポアンカレ予想]]にもつながるものだが、前述のようにクラインはトポロジーの基礎を築き上げたポアンカレと対立していたためこの問題の解決にも相当な知恵を傾けたといわれる。</ref>この特徴付けの最も大きな意味はいままで雑多に創り出されてきた数々の幾何学が分類しなおされたことである。（彼のプログラムに従わなかったものとして[[リーマン幾何学]]がある。この幾何学では空間の普遍性を仮定していないため一般に可能な変換は恒等変換だけになってしまう。この不備はクラインの後に修正された。）この幾何学の分類という問題は彼の教え子であったヒルベルトの[[公理系]]による幾何学を含めた数学の諸分野の体系付けという新たな道にも影響を与えることになる。▼

クラインは[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]や[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]の創始した[[多様体論]]にも大きな功績を残している。彼は[[微分幾何学]]の分野では[[多様体]]に持たせる[[幾何構造]]は剛体変換を可能にすることができる自然なものにすべきだとし<ref>これは前述のエアランゲン・プログラムで扱うことができる「幾何学」である。</ref>[[2次元多様体]]は全て3種類の自然な幾何構造を持つと信じた。（クラインは正しさを確信していたが、結局証明はできなかった。これの完全な[[証明]]は[[1907年]]にポアンカレと[[パウル・ケーベ|ケーベ]]によってそれぞれ独立になされ[[一意化定理]]と呼ばれている。）これは[[幾何化予想]]<ref>3次元で同じことを考えられないかという予想でポアンカレ予想の最終的解決に大きな意味を持った予想。</ref>などその後の幾何構造の研究に大きな影響を与えた。さらに位相幾何学の分野では[[向き|向き付け不可能]]な[[閉曲面]]を初めて発見した。この多様体は''[[クラインの壺]]''といわれている。<ref>「クライン」にはドイツ語で「小さい」という意味があることからクラインの壺のことを「小さい壺」と書いた本がしばしば見受けられる。これはトポロジーでは大きさを考えないことに掛けたジョークである。</ref>▼

{{Commons|Felix Klein}}▼