「ほとんど自由な電子」の版間の差分
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'''ほとんど自由な電子'''('''Nearly free electron''')：非常に弱い周期的なポテンシャルによる束縛を受けている[[電子]]のこと。
<B>（固有値）</B><BR>
周期的なポテンシャルをU=U(<B>r</B>)として、ほとんど自由な電子の固有値（固有エネルギー）E(<B>k</B>)はUを[[摂動]]と考えると、
<math> E(\vec{k}) = { \hbar^2 k^2 \over {2m} } + <\vec{k}|U|\vec{k}> + \sum_{\vec{q}} { {<\vec{k} + \vec{q}|U|\vec{k}><\vec{k}|U|\vec{k} + \vec{q}> } \over { ( { {\hbar^2} \over {2m} } (k^2 - |\vec{k}+\vec{q}|^2 ) } } </math>
となる。上式右辺第一項は、自由電子の固有値、第二項は一次の摂動エネルギー、第三項が二次の摂動エネルギーである。<BR>
ここで|<B>k</B> >, < <B>k</B>|は、自由電子での固有関数（波動関数）で、
<math> |\vec{k}> = {1 \over {{V}^{1/2}} } e^{i \vec{k} \vec{r} } </math>
<math> <\vec{k}| = {1 \over {{V}^{1/2}} } e^{-i \vec{k} \vec{r} } </math>
である。Vは系の体積。一次摂動エネルギーの項は、
<math> <\vec{k}|U|\vec{k}> = {1 \over V} \int e^{-i \vec{k} \vec{r}} U(\vec{r}) e ^{i \vec{k} \vec{r}} d \vec{r} = u(\vec{q} = 0) = u(0) </math>
であり、二次摂動エネルギーの項の<<B>k</B>+<B>q</B>|U|<B>k</B>>は同様にして、
<math> <\vec{k} + \vec{q}|U|\vec{k}><\vec{k}|U|\vec{k}+\vec{q}> = |u(\vec{K}_n)|^2 </math>
である（ポテンシャルの周期性から、<B>q</B> = <B>K</B><SUB>n</SUB>）。以上から、固有値E(<B>k</B>)は次のように書き直せる。
<math> E(\vec{k}) = { \hbar^2 k^2 \over {2m} } + u(0) + \sum_{\vec{K}_n \neq 0} { |u(\vec{K}_n)|^2 \over {E(\vec{k})^{(0)} - E(\vec{k} + \vec{K}_n)^{(0)} } } </math>
E<SUP>(0)</SUP>は自由電子での固有値。
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