「ネーターの定理」の版間の差分

→‎内容: 説明をエネルギー・運動量密度から移動, 説明の追加, lk: 生成子
(→‎内容: 説明をエネルギー・運動量密度から移動, 説明の追加, lk: 生成子)
 
== 内容 ==
系が或る変換に対して記述に変化を受けない場合、この変換をその系の対称性と呼ぶ。特に解析力学においては、変換に対して系の[[作用積分]]が変化しない時に、この変換を対称性と呼ぶ。これは、系の運動方程式は最小作用の原理を通じて定まる為、作用の変分がゼロであれば系の運動方程式は変化しない為である。ネーターの定理は、ラグランジアンの変数に対する連続的な変換が系の対称性になっている場合に、対称性の下での作用の変分 (ゼロに等しい) が或る保存量の時間についての全微分になっている事を言っている。
[[作用積分]]
 
[[作用積分]]
:<math>S[q]=\int_{t_I}^{t_F} dt\, L(q,\dot{q},t)</math>
が微小変換
 
=== 場の理論におけるネーターの定理 ===
場の解析力学・場の量子論では対称性は基本的な概念であり、ネーターの定理がしばしば用いられる。ネーターの定理によって導かれる保存則に登場する '''ネーターカレント''' (または '''保存カレント''')や、'''ネーターチャージ'''(または '''保存「電荷」 ''')は特に重要な概念になっている。
 
力学変数として場 &phi;(x) を考え、作用積分
:<math>\phi_i(x) \to \phi'_i(x') = \phi_i(x)+\epsilon^a\Psi^a_i(x)</math>
 
に対して対称性を持つとする。このとき、'''ネーターカレント'''
 
:<math>j^{a\mu} = \biggl(
:<math>Q^a := \int d^3\mathbf{x}\, j^{a0}</math>
 
'''ネーターチャージ'''と呼ばれ、これは変換の[[リー群#指数写像|生成子 (無限小生成作用素)]]となる。
 
:<math>[iQ^a,\phi_i(x)]=\delta^a\phi_i(x)</math>
 
==== 電磁気学における例 ====
<!-- [[エネルギー・運動量密度]] から移動 -->
たとえば、電磁気学においては作用が<math>U(1)</math>ゲージ変換のもとで不変であり、これに伴い電荷の保存則 (連続の式) が導かれる。
:<math>0=\partial_\mu J^\mu=\frac{\partial J^0}{\partial t}-{\mathbf\nabla}\cdot {\mathbf J}</math>
ここで、Jはネーターカレントで、その第0成分は電荷密度である。
 
== 導出 ==
60

回編集