「コーシー=シュワルツの不等式」の版間の差分

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: <math> ||x-z||^2 = \frac{||x||^2||y||^2-|\langle x,y \rangle|^2}{||y||^2}</math>
が非負であることよりコーシー=シュワルツの不等式が従う。さらに、''x'' と ''y'' とが線型従属のときかつそのときに限り ''z'' = ''x'' であり、不等式において等号が成立することがわかる。
 
 
 
 
標準内積に関する内積空間と考えたときの[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> の場合に書き下すと、
 
:<math>\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)</math>
となるが、この不等式はnに関する数学的帰納法で証明することができる。各<math>x_i,y_i</math> が負でない場合を示せばよい。
n=1のときは明らかに成立。n=2のときは、
:<math> (x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)-(x_1 y_1+x_2 y_2)^2=(x_1 y_2-x_2 y_1)^2\ge 0</math>
より成り立つ。n=mで成立すると仮定する。n=m+1のとき、
:<math>\left(\sum_{i=1}^{m+1} x_i y_i\right)^2=\left( \sum_{i=1}^m x_i y_i+x_{m+1} y_{m+1}\right)^2 </math>
:<math>\leq\left(\left(\sum_{i=1}^m x_i^2 \right)^\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^m y_i^2 \right)^\frac{1}{2}+x_{m+1} y_{m+1} \right)^2 </math> (∵帰納法の仮定より)
:<math>\leq\left(\sum_{i=1}^m x_i^2+x_{m+1}^2\right)\left(\sum_{i=1}^m y_i^2+y_{m+1}^2 \right)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; (∵n=2のときより)
:<math>=\left(\sum_{i=1}^{m+1}x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{m+1}y_i^2\right) </math>
となって成立する。
 
== 具体的な例 ==