「発散定理」の版間の差分
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'''発散定理'''（はっさんていり
==定理の内容==
数式を用いて述べると次のようになる。まず、'''R'''<sup>3</sup> で定義された滑らかなベクトル場 <math>\boldsymbol{\mathit{F}}=(F_1,F_2,F_3)</math> に対して ''F'' の'''発散''' div ''F'' を
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\frac{\partial\mathit{F}_3}{\partial z}</math>
と定義する。発散は∇([[ナブラ]];nabla)を用いると,
:<math>\mbox{div}\boldsymbol{\mathit{F}}=\boldsymbol{\mathit{\nabla}}\cdot\boldsymbol{\mathit{F}}</math>
と表され,ベクトルの内積([[ドット積]])となる.
''V'' を '''R'''<sup>3</sup> において滑らか（ここでは ''C''<sup>1</sup> 級でよい）な境界 ∂''V'' をもつ有界な領域（= 連結[[開集合]]）とし、''F'' を ''V'' の[[閉集合|閉包]]で定義されている滑らかなベクトル場とすると、
:<math>
\iiint_V \operatorname{div} \boldsymbol{\mathit{F}}\,dxdydz=
\iint_{\partial V} \boldsymbol{\mathit{F}}\!\cdot\!\boldsymbol{\mathit{n}}\,dS</math>
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この定理は、一般的な[[ストークスの定理]]から導くことができる。
==一般化されたストークスの定理との対応==
グリーンの定理は、以下のように[[ストークスの定理#微分形式による一般化|一般化されたストークスの定理]]において、[[微分形式|2次微分形式]]のωを考えた場合に相当する。
:<math>
\int_{\partial V} \omega = \int_V d\omega
</math>
:<math>
\omega= F_1dy \wedge dz + F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy
,\quad
d \omega =
\biggl ( \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+ + \frac{\partial F_3}{\partial z}
\biggr ) dx \wedge dy \wedge dz
</math>
==応用==
発散定理を[[電磁気学]]に応用して、電荷から湧き出す電場についての[[ガウスの法則]]を数学的に記述できる。（⇒[[マクスウェルの方程式]]）
==関連項目==
*[[グリーンの定理]]
*[[ストークスの定理]]
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