「コーシーの積分定理」の版間の差分
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== 証明 ==
上に書いた形でのコーシーの積分定理は、20 世紀に[[エドゥアール・グールサ|グールサ]](Edmund Goursat)によって証明された<ref>Edmund Goursat,“Sur la définition générale des fonctions analytiques d'apr`es Cauchy,” Transactions of the American Mathematical Society, '''1''', No. 1, pp.14–16</ref>。それまでの証明では ''f'' の微分可能性だけでなく、導関数の連続性が仮定されていた。▼
▲この定理の証明は[[グリーンの公式]]と[[コーシー・リーマンの関係式]]を用いるとよい。
証明は複素積分の定義から導くことができる。
:<math>
</math>
▲\int_C f(z)dz\ &=& \int_C \{u(x,y)+iv(x,y)\}(dx+idy) \ \\
::<math>
\ &=& -\iint_D (\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})\ + i \iint_D (\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})\ \\▼
</math>
::<math>
▲
+ i \iint_D \biggl (\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \biggr ) dxdy
</math>
ここで、正則関数であればコーシー・リーマンの関係式が成立するので、実部と虚部の項が0になる。
▲上に書いた形でのコーシーの積分定理は、20 世紀に[[エドゥアール・グールサ|グールサ]](Edmund Goursat)によって証明された<ref>Edmund Goursat,“Sur la définition générale des fonctions analytiques d'apr`es Cauchy,” Transactions of the American Mathematical Society, '''1''', No. 1, pp.14–16</ref>。それまでの証明では ''f'' の微分可能性だけでなく、導関数の連続性が仮定されていた。
==脚注==
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