「コーシー=シュワルツの不等式」の版間の差分

== 証明に関する話題 ==
シュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、<''x'', ''y''> なる内積を考えるとき、''t'' を実変数(あるいは任意の実定数)として
: <math>0 \le \langle x + (\langle x, y\rangle)ty, x + (\langlety x, y\rangle)ty\rangle = \langle x, x \rangle + 2| \langle x, y \rangle|^2t t + |\langle x, y \rangle|^2\langle y, y\rangle t^2</math>
は(内積の性質により)''t'' の如何にかかわらず成立する ''t'' の二次の絶対不等式となる。ゆえに、二次の絶対不等式に関してよく知られた事実により、この ''t'' に関する二次式の判別式
: <math>(| \langle x, y \rangle|^2) ^2 - |\langle x, y x\rangle|^2\cdot \langle x, x\rangle\cdot \langle y, y \rangle</math>
は半負定値(非正)でなければならない。これを整理してシュワルツの不等式を得る。
 
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