「冪零行列」の版間の差分

「べき」を使うべきか、「冪」を使うべきか…
 
(「べき」を使うべきか、「冪」を使うべきか…)
: M<sup>m</sup> = <b>0</b>
が成り立つものをいう。べき零行列は[[基底]]の与えられた[[ベクトル空間]]に対して'''べき零変換'''を定める
 
==標準形==
:<math>N_n =
\begin{pmatrix}
0 & E_{n-1} \\
0 & 0
\end{pmatrix}
</math>
と置いたとき、べき零行列の[[標準形]]は、上の行列の幾つかの[[直和]]
:<math>
\begin{pmatrix}
N_{n_1} & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & N_{n_k}
\end{pmatrix}
</math>
となる。標準化の対象になる行列を M としたとき、&rho;<sub>''r''</sub> = rankM<sup>''r''</sup> - rankM<sup>''r''-1</sup> と置けば、''n''<sub>''i''</sub> = ''p'' なる ''i'' の個数は全部で &rho;<sub>''p''</sub> - &rho;<sub>''p''+1</sub> 個ある。この &rho;<sub>''i''</sub> の値によって作られるべき零行列の標準形は、''n''<sub>''i''</sub> の順番を除いて一意的である。以下、&rho;<sub>''i''</sub>の値に基づく(''s''次)標準形を N[&rho;<sub>1</sub>,&hellip;,&rho;<sub>''s''</sub>] と書く。また、M の次数を ''s'' とすれば、&rho;<sub>''i''</sub> の定義から直接に、&sum;&rho;<sub>''i''</sub> = ''s'' となるから、次数 ''s'' に置ける相異なる標準形の個数は F<sub>''s''+1</sub> である。ここに F は[[フィボナッチ数列]]を指す。例えば、次数 4 に於ける標準形は、
:<math>
\begin{pmatrix}
N_4
\end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix}
N_3 & 0 \\
0 & N_1
\end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix}
N_2 & 0 \\
0 & N_2
\end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix}
N_2 & 0 & 0 \\
0 & N_1 & 0 \\
0 & 0 & N_1 \\
\end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix}
N_1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & N_1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & N_1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & N_1
\end{pmatrix}
</math>
の 5 つである。この標準形は、それぞれ N[1,1,1,1] , N[2,1,1,0] , N[2,2,0,0] , N[3,1,0,0] , N[4,0,0,0] である。一般に N[1,&hellip;,1] = (N<sub>''s''</sub>) , N[''s'',0,&hellip;,0] = O が成立する。<br>
N<sub>''n''</sub> は、[[冪乗]]に関して次のような性質を持つ。
:<math>N_n^2 =
\begin{pmatrix}
0 & N_{n-1} \\
0 & 0
\end{pmatrix}
</math>
253

回編集