「楕円積分」の版間の差分
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以下の積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の'''楕円積分'''（だえんせきぶん）という
▲以下の積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の'''楕円積分'''（だえんせきぶん）という。[[楕円]]の弧長など、三次式、或いは四次式の[[平方根]]の[[積分]]は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。
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<math>F(x,k)=\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}dt}</math><br />
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<math>|k|\leq{1}</math>を母数（modulus）、<math>a</math>を特性（characteristic）という。母数<math>k</math>の代わりにパラメーター<math>m=k^2</math>、或いはモジュラー角<math>\alpha=\sin^{-1}k</math>を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性<math>a</math>を助変数（通常はparameterの訳語）と称することもあるので更に注意が必要である。
[[楕円]]の弧長など、三次式、或いは四次式の[[平方根]]の[[積分]]は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。
== ルジャンドルの標準形 ==
最初に示したものは[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコービ]]の標準形であるが、ヤコービの標準形において<math>t=\sin{\theta}</math>と置けば幾らか簡単な[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]の標準形が得られる。
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<math>\Pi(a;\varphi,k)=\int_0^\varphi{\frac{1}{(1-a\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta}</math>
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== 特定の母数の場合 ==
<math>k=0</math>の場合は逆[[三角関数]]に、<math>k=1</math>の場合は逆[[双曲線関数]]になる。
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