「集積点」の版間の差分

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(en:Limit point 10:14, 4 August 2011)
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[[数学]]における'''集積点'''(しゅうせきてん、{{lang-en-short|''accumulation point''}})あるいは'''極限点'''(きょくげんてん、{{lang-en-short|''limit point''}})は、[[位相空間]] ''X'' の[[部分集合]] ''S'' に対して定義される概念で、(''X'' の位相に関する ''x'' の任意の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]が ''x'' 自身を除く ''S'' の点を含むという意味で)''S'' によって「近似」することができるような ''X'' の点 ''x'' を ''S'' の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 ''x'' は必ずしも ''S'' の点でなくともよいということには留意すべきである。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化するものであり、[[閉集合]]や[[閉包 (位相空間論)|閉包]]といった概念を下支えするものになっている。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点をすべて含むこととは同値であり、また集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作として捉えることができる。
 
任意の有限区間または有界区間はそれが無限個の点を含む有界区間はならば少なくとも一つの集積点を含まなければならないが、さらに有界区間が無限個の点とただ一つの集積点を含むならば、区間内の任意の無限列がその唯一の集積点に収斂する。
 
== 定義 ==
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