「クラス (集合論)」の版間の差分

'''[[集合論'''、]]及びその応用としての[[数学]]におけるその応用上での'''クラス'''とまたは'''類'''（るい、{{lang-en-short|''class''}}）は、[[集合]](または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての要素[[元 (数学)|元]]が持つ共通にもつ性質によって漠然と紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、[[ツエルメロ＝フレンケル集合論]] (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、[[ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論]] (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。

与えられたタイプ型の代数的対象全ての集まりは、たいてい真のクラスをなす。例えば、全ての[[群 (数学)|群]]からなるクラス、全ての[[ベクトル空間]]からなるクラス、など。圏論では、対象の集まりが真クラスをなすもの（または射の集まりが真クラスをなすもの）を[[大きい圏]]という。

[[素朴集合論の[[パラドックス]]は「全てのクラスが集合である」という正しくない仮定によって説明される。厳格な基礎付けの下では、これらのはパラドックスなのでは、対象となっくてい、ある種のクラスが真クラスであることの[[証明]]を示唆するものヒントになであると捉えることができる。例えば[[ラッセルのパラドックス]]は「自分自身に属する集合」全体が真クラスになることを示唆するし、[[ブラリ＝フォルティのパラドックス]]は全ての順序数によからなるクラスが真クラスであることを示唆している。

== 正式な公理的集合論におけるクラス ==

ZFではクラスの概念を公定式に化することは扱っていできない。ので、クラスは[[メタ言語]]による同値な言明にで置き換えられることで扱うことになる。例えば、 <math>\mathcal A</math> を、ZFを解釈する[[構造 (数理論理学)|構造]]として、メタ言語での表現 <math>\{x\mid x=x \} </math> の <math>\mathcal A</math> における解釈は、<math>\mathcal A</math> の[[議論領域]]に属する要素全ての集まり（つまり、<math>\mathcal A</math> における集合すべての集まり）である。ゆえに、「全ての集合の成すクラス」を述語 ''x = x''と（あるいはそれに同値な述語と）同一視することができる。

[[モース-ケリーの[[集合論]] (MK) は（NBG のように）真クラスを基礎的な対象としてNBGのように認める、しかしものだが、集合の存在公理の中で全ての真クラスを走る量化をも許す。これにより、MKは真にZFやNBGより真に強い。

[[eten:KlassClass (matemaatikaset theory)]]

[[kohu:모임Osztály (집합론halmazelmélet)]]