「クラス (集合論)」の版間の差分

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cat, lnk, 一部の言い回し等
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'''[[集合論'''、]]及びその応用としての[[数学]]におけるその応用上での'''クラス'''または'''類'''(るい、{{lang-en-short|''class''}})は、[[集合]](または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての要素[[元 (数学)|元]]持つ共通にもつ性質によって漠然と紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、[[ツエルメロ=フレンケル集合論]] (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論(たとえば、[[ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論]] (NBG))では、「クラス」の概念は公理化されている(NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される)
 
(どのような定式化を選んだとしても)「全ての集合の集まり」はクラスである。(ZF では厳密な言い方ではないが)このクラスだが集合でないようなものは'''真のクラス''' (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス(つまり集合)は'''小さいクラス''' (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。
クラスの正確な定義は、使っている文脈・理論による。
ZF集合論ではクラスは非公式な存在であるが、NBG集合論ではクラスの概念は公理化(例えば、「別の実体の要素でないような実体のこと」である。など)されている。
基礎となる理論をどうとるかに依らず、全ての集合はクラスである。
クラスのうち、集合でないもの(これは、ZFでは公式には存在しないものである。)を'''真のクラス'''と呼ぶ。
そしてクラスのうち、集合であるものを'''小さいクラス'''と呼ぶこともある。
例えば、全ての順序数の集まり、全ての集合の集まりは、多くの形式的体系の下で真のクラスである。
 
集合論以外の文脈では「クラス」を「集合」の同義語として使うこともある。この用法はクラスと集合が的な集合論の専門用語として法に基づく区別されていなかった時代からある。19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念をさしていた。この意味でのクラスは「級」という訳語を当てることがある(たとえば[[滑らかな函数|滑らかさ]]のクラスの ''C''<sup>1</sup>-級など)
集合論の外で、"クラス"は"集合"と同様に使われることがある。
この用法はクラスと集合が近代の集合論の専門用語として区別されていなかった時代からある。19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念をさしていた。
 
== 例 ==
 
与えられたタイプの代数的対象全ての集まりは、たいてい真のクラスをなす。例えば、全ての[[群 (数学)|群]]からなるクラス、全ての[[ベクトル空間]]からなるクラス、など。圏論では、対象の集まりが真クラスをなすもの(または射の集まりが真クラスをなすもの)を[[大きい圏]]という
例えば、全ての群によるクラス、全ての[[ベクトル]]空間によるクラス、など。
圏論では、対象の集まりで真クラスをなすもの(または射の集まりで真クラスをなすもの)をlarge categoryという。
 
超実数全体は、[[体 (数学)|体]]の公理を満たす対象による真クラスである。
超実数全体は、体の公理を満たす対象による真クラスである。集合論では、集合の集まりの多くは真クラスになってしまう。例えば、全ての集合によるクラス、全ての順序数によるクラス、全ての基数によるクラスなど。クラスが真クラスであることを証明する方法に、全ての順序数によるクラスとの間に全単射を与えるというものがある。
 
この方法は、自由な完備束が存在しないことの証明で使われたりする。
超実数全体は、体の公理を満たす対象による真クラスである。集合論では、集合の集まりの多くは真クラスになってしまう。例えば、全ての集合によからなるクラス、全ての順序数によからなるクラス、全ての基数によからなるクラスなど。クラスが真クラスであることを証明する方法に、全ての順序数によるクラスとの間に全単射を与えるというものがある
 
クラスが真クラスであることを証明する方法に、全ての順序数によるクラスとの間に全単射を与えるというものがある。この方法は、例えば[[自由完備束]]が存在しないことの証明などに使われる。
 
== パラドックス ==
 
[[素朴集合論の[[パラドックス]]は「全てのクラスが集合である」という正しくない仮定によって説明される。厳格な基礎付けの下では、これらパラドックスなので、対象と、あ種のクラスが真クラスであることの[[証明]]を示唆するもヒントになであると捉えることができる。例えば[[ラッセルのパラドックス]]は「自分自身に属する集合」全体が真クラスになることを示唆するし、[[ブラリ=フォルティのパラドックス]]は全ての順序数によからなるクラスが真クラスであることを示唆している。
 
== 正式な公理的集合論におけるクラス ==
 
ZFではクラスの概念化すること扱っていできないので、クラスは[[メタ言語]]による同値な言明置き換えられることで扱うことになる。例えば、 <math>\mathcal A</math> をZFを解釈する[[構造 (数理論理学)|構造]]として、メタ言語での表現 <math>\{x\mid x=x \} </math> の <math>\mathcal A</math> における解釈は、<math>\mathcal A</math> の[[議論領域]]に属する要素全ての集まり(つまり、<math>\mathcal A</math> における集合すべての集まり)である。ゆえに、「全ての集合の成すクラス」を述語 ''x = x''と(あるいはそれに同値な述語と)同一視することができる。
[[メタ]]言語での表現 <math>\{x\mid x=x \} </math>の <math>\mathcal A</math> における解釈は、Aを[[ドメイン]]とする要素全ての集まりによってなされる。
つまり、 <math>\mathcal A</math> の要素である集合全てである。全ての集合によるクラスというのは、''x=x''という述語、またはそれに同値な述語によって一意的に定められる。
 
ZF集合論ではクラスを厳密に扱うことができないので、ZF の公理系をそのままクラスに関する言明に適用することはできない。しかし、[[到達不可能基数]] κ の存在を仮定すれば「それよりランクの小さな集合全体」は ZF のモデル([[グロタンディーク宇宙]])になり、その部分集合を「クラス」として考えることができる。
なので、クラスというのはZFの理論下でいかなる正式なステータスも持たないし、
クラスに直ちに定義できる公理も存在しない。しかしながら、到達不能基数κの存在を仮定すると、κ未満のランクの集合がZFのモデル([[グロタンディーク宇宙]])を構成し
その部分集合が"クラス"として考えられる。
 
別な方法として、[[ノイマン-ベルナイス-ゲーデルの公理系]] (NBG) を例に挙げよう。この理論ではクラスは基本的なオブジェクト対象あり、集合は別のクラスの要素であるクラスとして定義される。しかしながら、NBGにおける集合の存在公理は、クラスの上を量化ではなく、集合の上をる量化のみに制限されている。これにより、NBG ZF [[拡大であ]]となる。
別のアプローチで、ノイマン-ベルナイス-ゲーデル公理系(NBG)を使うものがある。
この理論ではクラスは基本的なオブジェクトで、集合は別のクラスの要素であるクラスとして定義される。しかしながら、NBGの集合の存在公理は、クラスの上を走る量化ではなく、集合の上を走る量化のみに制限されている。これにより、NBGはZFの保守拡大である。
 
[[モース-ケリーの[[集合論]] (MK) (NBG のように)真クラスを基礎的な対象としてNBGのように認める、しかしものだが、集合の存在公理の中で全ての真クラスを走る量化をも許す。これにより、MKは真にZFやNBGより真に強い。
 
[[新基礎集合論]] (NF) や[[半集合]]の理論のようなほかの集合論でも、「真の類」の概念は意味を成す(必ずしも全ての類は集合でない)が、集合性 (sethood) の判定規準が部分集合を作る操作の下で閉じていない。例えば、普遍集合を備える任意の集合論は集合の部分類となるような真の類を持つ。
 
== 参考文献 ==
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[[Category:集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]
 
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[[da:Klasse (matematik)]]
[[de:Klasse (Mengenlehre)]]
[[eten:KlassClass (matemaatikaset theory)]]
[[es:Clase (teoría de conjuntos)]]
[[et:Klass (matemaatika)]]
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[[fr:Classe (mathématiques)]]
[[kohu:모임Osztály (집합론halmazelmélet)]]
[[it:Classe (matematica)]]
[[ko:모임 (집합론)]]
[[lmo:Classa (matemàtica)]]
[[hu:Osztály (halmazelmélet)]]
[[nl:Klasse (verzamelingenleer)]]
[[pl:Klasa (matematyka)]]
[[ru:Класс (математика)]]
[[sl:Razred (teorija množic)]]
[[fi:Luokka (matematiikka)]]
[[sv:Klass (matematik)]]
[[zh:类 (数学)]]
 
[[en:Class (set theory)]]
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