「多重散乱理論」の版間の差分
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'''多重散乱理論'''('''Multiple scattering theory''')：[[散乱理論]]では単独のポテンシャルにおける[[電子]]（散乱するものは電子以外にも光や他の粒子など様々なものが存在）の散乱を扱ったが、現実の散乱は、多数のポテンシャル下でかつ散乱される対象も多数存在する。また一つの電子に限っても、散乱は一回限りでなく複数回散乱される。このような多重な散乱を扱う理論が'''多重散乱理論'''である。
<B>（具体例
多重散乱理論には扱う対象により様々なものが考えられるが、以下に一つの例として並進対称に配置した格子系において、各格子（サイト）上にポテンシャルが[[ランダム]]（非周期的）に配置した場合を考える。以下、散乱されるのは電子としておく。
16行目:
<math> \tilde{V}(z) = \sum_n \tilde{V}_n (z) </math>
であり、<math> \tilde{V}_n(z) </math>は任意の周期ポテンシャル。つまりポテンシャルV<SUB>n</SUB>を周期的部分<math> \tilde{V} </math>と非周期的部分<math>\,v</math>とに分けた訳である。zは複素エネルギー。上式で、v(z)は次のようv<SUB>n</SUB>(z)の和になっている。
<math> v(z) = \sum_n [V_n - \tilde{V}_n (z)] = \sum_n v_n(z) </math>
28行目:
<math> \tilde{G} = {1 \over {z - \tilde{H} }} </math>
とし、非周期ポテンシャル部分vに関して展開すると、
<math> G(z) = \tilde{G} \{1 + v \tilde{G} + v \tilde{G} v \tilde{G} + \cdot \cdot \cdot \} = \tilde{G} + \tilde{G} T \tilde{G} </math>
46行目:
<math> t_n = v_n + v_n \tilde{G} \{ v_n + v_n \tilde{G} v_n + v_n \tilde{G} v_n \tilde{G} v_n \cdot \cdot \cdot \} = v_n + v_n \tilde{G} t_n </math>
である。総散乱行列TはサイトnでのT<SUB>n</SUB>の和、
<math> T = \, \sum_n T_n </math>
58行目:
<math> T_n = v_n + v_n \tilde{G} T_n + v_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} T_m = t_n [1 + \tilde{G} \sum_{m \ne n} T_m ] </math>
である。ここで、
<math> (1 - v_n \tilde{G})T_n = v_n + v_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} T_m, \quad \quad t_n = v_n [1 - v_n \tilde{G}]^{-1} </math>
65行目:
<math> T = \sum_n t_n + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \tilde{G} \sum_{p \ne m} t_p + \cdot \cdot \cdot </math>
ここでポテンシャルが全て同じであると考える。そして総散乱行列Tを次のように分解する。
<math> T = \sum_{n,n'}T_{nn'} </math>
T<SUB>nn'</SUB>は、
<math> T_{nn'} = t_n \delta_{nn'} + t_n G_0 \sum_{m \ne n} T_{mn'} </math>
となる。G<SUB>0</SUB>は自由電子のグリーン関数とする（<math> \tilde{G} \to G_0 </math>）。これにより、厳密な形式解を得ることができる。T<SUB>nn'</SUB>は更に、
<math> \begin{matrix} T_{nn'} & = & t_n \delta_{nn'} + t_n G_0 \sum_{m \ne n} (t_m \delta_{mn'} + t_m G_0 \sum_{p \ne m} T_{pn'}) \\ \ & = & t_n \delta_{nn'} + t_n G_0 t_n' + t_n G_0 \sum_{m \ne n} t_m G_0 t_n' \end{matrix} </math>
となる。T<SUB>nn'</SUB>はサイトnから始まって、サイトn'で終わる全ての散乱過程を記述していることとなる。一方T<SUB>n</SUB>は、
<math> T_n = \sum_{n'} T_{nn'} </math>
であり、これはサイトnは考慮されるが、終点としてのサイトn'を考えていない。そして、T<SUB>nn'</SUB>の形式解は、
<math> T_{nn'}^{LL'}(\kappa) = \tau_{n}^{l}(\kappa) [ \delta_{nn'}^{LL'} + \sum_{n_1,L_1} B_{nn_1}^{LL_1}(\kappa) \cdot T_{{n_1}n'}^{{L_1}L'}(\kappa)] </math>
となる。<math> B_{nn_1}^{LL_1} </math>は構造定数と言われるもので、結晶格子の種類にのみ依存する定数である。
この多重散乱理論を利用して、[[CPA]]（KKR-CPA法）や[[KKR]]などの[[バンド計算]]手法が作られた。
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