「閉包 (位相空間論)」の版間の差分

[[数学]]において、[[位相空間]]の部分集合の'''閉包'''（へいほう、{{lang-en-short|''closure''}}）は、その部分集合の'''蝕触点'''（部分集合の点とそれらの[[集積点]]）を全て集めて得られる集合である。直観的には、部分集合の蝕触点とはその部分集合の「いくらでも近く」にある点と考えられる。閉包の概念は様々な意味で[[開核]]の概念の双対になっている。

=== 蝕触点 ===

[[ユークリッド空間]]の部分集合 ''S'' に対して、点 ''x'' が ''S'' の蝕触点（閉包点）であるとは、''x'' を中心とする任意の[[開球体]]が必ず ''S'' の点を少なくとも一つ含むときにいう（''x'' が ''S'' に属するときは、所期の点として ''x'' 自身を選んでよい）。

この定義は「ユークリッド空間」の部分を「任意の[[距離空間]] ''X''」に書き換えて直ちに一般化することができる。きちんと述べれば、距離 ''d'' を持つ距離空間 ''X'' に対して、''X'' の点 ''x'' が ''X'' の部分集合 ''S'' の蝕触点であるとは、各 ''r'' > 0 に対して ''S'' の適当な点 ''y'' を選べば ''d''(''x'', ''y'') < ''r'' とできるときにいう（やはり ''y'' = ''x'' ととり得る）。これは、式で書けば ''x'' が

を満たすことに他ならない。これをさらに「開球体」の代わりに「[[近傍 (位相空間論)|近傍]]」を考えて、一般の[[位相空間]]に対するものに一般化することができる。すなわち、位相空間 ''X'' の部分集合 ''S'' に対して、''X'' の点 ''x'' が ''S'' の蝕触点であるとは、''x'' の任意の近傍が必ず ''S'' の点を少なくとも一つ含むときに言う（この定義は、近傍の定義にそれが開であることを含むか否かに依らない）。

集合 ''S'' の'''閉包'''とは、''S'' の蝕触点全体の成す集合を言い、cl(''S'') や Cl(''S'') あるいは <span style="text-decoration: overline;">''S''</span> や ''S''^&minus; などで表す。集合の閉包は以下のような性質を持つ。

蝕触点の概念は[[集積点]]（極限点）の概念に近しい関係を持つ。これらの定義の差異はわずかだがその違いが重要であって、集積点の場合にはその定義において点 ''x'' の近傍は所期の集合の「''x'' 以外の」点を含むのでなければならない。

したがって、任意の集積点は蝕触点となるが、逆は必ずしも成り立たない。蝕触点であって集積点でないような点は[[孤立点]]という。すなわち、点 ''x'' が ''S'' の孤立点であるとは、それが ''S'' の点であって、かつ ''x'' の近傍で ''S'' の点を含むものは ''x'' のみからなる近傍以外に存在しないときにいう。

集合 ''S'' と点 ''x'' が与えられたとき、''x'' が ''S'' の蝕触点であるための必要十分条件は ''x'' が ''S'' の元であるか、さもなくば ''S'' の集積点となることである。