「区分線形関数」の版間の差分

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[[file:Finite element method 1D illustration1.png|right|thumb|関数(青)とその区分線形近似(赤)]]
[[file:Piecewise linear function2D.svg|right|thumbnail|2次元の区分線形関数(上)とそれが線形となる凸多面体(下)]]
[[数学]]における'''区分的に一次な数'''あるいは'''区分線形関数'''(くぶんせんけいかんすう、{{lang-en-short|''Piecewise linear function''}})とは、[[区分的に定義される数]]で、各区分が[[一次数]](線型数)となっていうようなものをいう。
 
区分的に線型な数の概念は、いくつか異なる文脈で意味を持つ。区分的に線型な
: <math>f\colon \Omega \to V</math>
の定義域 &Omega; としては、''n''-次元[[ユークリッド空間]]や、より一般の[[ベクトル空間]]あるいは[[アフィン空間]]をとることもできるし、他にも[[区分線型多様体]]や[[単体的複体]]などといったようなものの上でも定義される。いずれの場合にも、値域 ''V'' は[[実数]]の全体やベクトル空間、アフィン空間であったり、あるいは区分線型多様体や単体複体に値をとる区分線型数(区分線型写像)をも考えることができる。なお、この文脈における「線型」は専ら[[線型写像]]の意味で用いられているのではなく、より一般の[[アフィン変換|アフィン線型写像]]の意味にとる必要がある。
 
次元が 2 以上の場合には、定義域 ''V'' の各小片 ''I'' が[[多角形]]や[[多面体]]となるものと仮定することが多く、こうすれば数のグラフが多角形や多面体の小片の貼り合わせとなることが保証される。
 
区分的に一次な数のクラスの重要な部分クラスとして、区分的に線型な[[連続数]]のクラスや区分線型[[凸数]]のクラスなどが挙げられる。区分的に線型な実数が[[連続数|連続]]ならば、そのグラフは[[折線]] (polygonal curve) になる。[[スプライン曲線]]は区分的に一次な数を一般化するもので、区分的に高次の多項式やさらに言えば[[区分的に可微分な数]] (PDIFF) を考えるものである。
 
==例==
''f'' が区間 <math>[x_1,x_2]</math> で実数値関数である場合には、''f'' が区分線形であるための必要十分条件は <math>[x_1,x_2]</math> を有限個の小区間に分割して、各小区間 ''I'' のうえで ''f'' が一次
: ''f''(''x'') = ''a''<sub>''I''</sup>&thinsp;''x'' + ''b''<sub>''I''</sub>
に等しくなるようにできることである。