「対角化」の版間の差分

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'''対角化'''(たいかくか、{{Lang-en-short|diagonalization}}<ref>{{Cite book|和書
'''対角化'''(たいかくか、'''Diagonalization''')は、[[正方行列]]を適当な線形変換によりもとの行列と[[行列の相似|同値]]な[[対角行列]]に帰着させること。あるいは、[[ベクトル空間]]の[[線形写像]]にたいし、空間の基底を取り替え、その作用が常にある方向([[固有値|固有空間]])へのスカラー倍([[固有値]])として現れるようにすること。
|author = [[文部省]]
|coauthors = [[日本物理学会]]編
|title = [[学術用語集]] 物理学編
|url = http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi
|year = 1990
|publisher = [[培風館]]
|isbn = 4-563-02195-4
|page =
'''対角化'''(たいかくか、'''Diagonalization'''}}</ref>)は、[[正方行列]]を適当な[[線形変換]]によりもとの[[行列]]と[[行列の相似|同値]]な[[対角行列]]に帰着させること。あるいは、[[ベクトル空間]]の[[線形写像]]にたいし、[[空間]][[基底]]を取り替え、その作用が常にある方向([[固有値|固有空間]])への[[スカラー]]倍([[固有値]])として現れるようにすること。
 
== 概要 ==
''n'' 次正方行列 ''A'' に対して、 ''n'' 次対角行列 ''D'' と正則な ''n'' 次正方行列 ''U'' が存在して
: <math> U^{-1} A U = D </math>
とできるとき、行列 ''A'' は'''対角化可能'''であるという。
とできるとき、行列 ''A'' は'''対角化可能'''であるという。このとき、<math> AU = UD </math> であるから、 ''D'' の対角成分には ''A'' の固有値がならび、その他の非対角成分はすべて 0 となる。
 
''A'' の[[固有値]]を重複を許さず<math>\lambda_{i}, i=1,\cdots,r, </math> とするとき、''A'' が対角化可能であるための必要十分条件は、
: <math> \sum_{i=1}^{r}\dim\ker(\lambda_{i}I_{n} - A) = n, </math>
''A'' が対角化可能であるための必要十分条件は、
かつ、各項が各固有値の重複度と等しいことである。ここで、<math>I_{n}</math> は ''n'' 次単位行列を表す。<math>\ker(\lambda_{i}I_{n}-A)</math> は固有値 <math>\lambda_{i}</math> の固有空間であるから、この条件はベクトル空間の基底として ''A'' の固有ベクトルが取れることを意味している。
:<math> \sum_{i=1}^{r}\dim\ker(\lambda_{i}I_{n} - A) = n, </math>
かつ、各項が各固有値の重複度と等しいこと
である。ここで、<math>I_{n}</math>は ''n'' 次単位行列を表す。
<math> \ker(\lambda_{i}I_{n}-A)</math>は固有値<math>\lambda_{i}</math>の固有空間であるから、
この条件はベクトル空間の基底として ''A'' の固有ベクトルが取れることを意味している。
 
''A'' が実[[対称行列]]のとき、 ''A'' は常に対角化可能であり、 ''U'' として[[直交行列]]を取ることができる。また ''A'' が[[ユニタリー行列]] ''U'' を用いて対角化できるためには、 ''A'' が[[正規行列]]であることが[[同値|必要十分]]である。正規行列の中で応用上重要なクラスとして、対称行列と[[エルミート行列]]がある。
また ''A'' が[[ユニタリー行列]] ''U'' を用いて対角化できるためには、 ''A'' が[[正規行列]]であることが[[同値|必要十分]]である。
正規行列の中で応用上重要なクラスとして、対称行列と[[エルミート行列]]がある。
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(数値的対角化手法)
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==関連項目==
*[[固有値問題]]
*[[ジョルダン標準形]]
 
== 脚注 ==
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== 参考文献 == <!-- {{Cite book}} --> <!-- {{Cite journal}} -->
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== 関連項目 ==
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* [[固有値問題]]
* [[ジョルダン標準形]]
 
== 外部リンク == <!-- {{Cite web}} -->
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