「貴金属比」の版間の差分

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'''貴金属比'''(ききんぞくひ、{{lang-en|metallic ratio}})は、
: <math>1:\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}</math>(''n'' は自然数)
あらわされる[[比]]である。
 
''n'' の場合、'''第 ''n'' 貴金属比'''といい、特に第 1 貴金属比 1 : (1+√<span style="text-decoration:overline">5</span>√5)/2 を[[黄金比]]、第 2 貴金属比 1 : (1+√<span style="text-decoration:overline">2</span>)√2 を[[白銀比]]、第 3 貴金属比 1 : (3+√<span style="text-decoration:overline">13</span>√13)/2 を[[青銅比]]という。
 
== 貴金属数 ==
|-
! 0
| (0+√4)/2
| (0+√<span style="text-decoration:overline">4</span>)/2
| 1
| 1
|-
! 1
| (1+√5)/2
| (1+√<span style="text-decoration:overline">5</span>)/2
| (1+√5)/2
| (1+√<span style="text-decoration:overline">5</span>)/2
| 1.6180339887...
|-
! 2
| (2+√8)/2
| (2+√<span style="text-decoration:overline">8</span>)/2
| 1+√2
| 1+√<span style="text-decoration:overline">2</span>
| 2.4142135623...
|-
! 3
| (3+√13)/2
| (3+√<span style="text-decoration:overline">13</span>)/2
| (3+√13)/2
| (3+√<span style="text-decoration:overline">13</span>)/2
| 3.3027756377...
|-
! 4
| (4+√20)/2
| (4+√<span style="text-decoration:overline">20</span>)/2
| 2+√5
| 2+√<span style="text-decoration:overline">5</span>
| 4.2360679774...
|-
! 5
| (5+√29)/2
| (5+√<span style="text-decoration:overline">29</span>)/2
| (5+√29)/2
| (5+√<span style="text-decoration:overline">29</span>)/2
| 5.1925824035...
|-
! 6
| (6+√40)/2
| (6+√<span style="text-decoration:overline">40</span>)/2
| 3+√10
| 3+√<span style="text-decoration:overline">10</span>
| 6.1622776601...
|-
! 7
| (7+√53)/2
| (7+√<span style="text-decoration:overline">53</span>)/2
| (7+√53)/2
| (7+√<span style="text-decoration:overline">53</span>)/2
| 7.1400549446...
|-
! 8
| (8+√68)/2
| (8+√<span style="text-decoration:overline">68</span>)/2
| 4+√17
| 4+√<span style="text-decoration:overline">17</span>
| 8.1231056256...
|-
! 9
| (9+√85)/2
| (9+√<span style="text-decoration:overline">85</span>)/2
| (9+√85)/2
| (9+√<span style="text-decoration:overline">85</span>)/2
| 9.1097722286...
|-
! ...
| colspan="3" style="text-align:center" | ...
|-
! ''n''
| colspan="3" style="text-align:center" | {''n''+√(''n''<sup>2</sup>+4)}/2
|}
 
は、[[二次方程式]] ''x''<sup>2</sup> - ''nx'' - 1 = 0 の正の解であり、これを'''貴金属数'''(ききんぞくすう、{{lang-en|metallic number}})という。
 
''n'' の場合、'''第 ''n'' 貴金属数'''といい、特に第 1 貴金属数 (1+√<span style="text-decoration:overline">5</span>√5)/2 を[[黄金比|黄金数]]、第 2 貴金属数 1+√<span style="text-decoration:overline">2</span>√2 を[[白銀比|白銀数]]、第 3 貴金属数 (3+√<span style="text-decoration:overline">13</span>√13)/2 を[[青銅比|青銅数]]という。
 
=== 連分数として ===
貴金属数には[[連分数|連分数表示]]があり、それは、
 
: <math>n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} = [n; n, n, n, n, \dots] </math>
貴金属数には[[連分数|連分数表示]]があり、それは、
である。
: <math>n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} = [n; n, n, n, n, \dots] </math>
である。
 
=== 数列の商の極限として ===
黄金数(第 1 貴金属数)が、[[フィボナッチ数列]]の隣り合う 2 項の商の極限で表されるように、一般に第 ''n'' 貴金属数にも、隣り合う 2 項の商の極限で表せるような数列が存在する。
 
黄金数(第 1 貴金属数)が、フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の商の極限で表されるように、一般に第 ''n'' 貴金属数にも、隣り合う 2 項の商の極限で表せるような数列が存在する。
 
数列 {''M<sub>k</sub>''} を、漸化式
: <math>M_0 = 0,\quad M_1 = 1,\quad M_{k+2} = n M_{k+1} + M_k</math>
で定義すると、この一般項は、第 ''n'' 貴金属数を ''μ'' として、
: <math>M_k = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\mu + \mu^{-1}} = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\sqrt{n^2+4}} </math>
で表される。
 
このとき、この数列の隣り合う 2 項の商は、''k'' → ∞ のときに ''μ'' に収束する。
 
すなわち、
: <math>\lim_{k\to\infty} \frac{M_{k+1}}{M_k} = \mu </math>
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