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「無限降下法」の版間の差分

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=== ある不定方程式 ===
方程式
:''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = 3(''s''<sup>2</sup> + ''t''<sup>2</sup>)
{{Indent|<math>a^2+b^2=3(s^2+t^2)\,</math>}}
が自明な解 ''a'' = ''b'' = ''s'' = ''t'' = 0 以外に整数解を持たないことを、無限降下法で証明できる。非自明な自然数解 (''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''s''<sub>1</sub>, ''t''<sub>1</sub>) が存在すると仮定すると、
:''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''b''<sub>1</sub><sup>2</sup> = 3(''s''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''t''<sub>1</sub><sup>2</sup>)
{{Indent|<math>a_1^2+b_1^2=3(s_1^2+t_1^2)\,</math>}}
より ''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''b''<sub>1</sub><sup>2</sup> は 3 の倍数である。平方数を 3 で割った余りは 0 か 1 であるから、''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub> ともに 3 の倍数でなければならないことが分かる。そこで、''a''<sub>1</sub> = 3''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>1</sub> = 3''b''<sub>2</sub> とおくと、
:''s''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''t''<sub>1</sub><sup>2</sup> = 3(''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''b''<sub>2</sub><sup>2</sup>)
{{Indent|<math>s_1^2+t_1^2=3(a_2^2+b_2^2)\,</math>}}
となる。すなわち、新しい解 (''s''<sub>1</sub>, ''t''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>2</sub>) を得た。4つの数の和について
:''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub> + ''s''<sub>1</sub> + ''t''<sub>1</sub> > ''s''<sub>1</sub> + ''t''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>
{{Indent|<math>a_1+b_1+s_1+t_1>s_1+t_1+a_2+b_2\,</math>}}
であるから、新しい解の方が小さい。こうして次々に「小さい」解を得ることができるが、これは矛盾である。したがって、方程式は非自明な解を持たない。
 
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