「到達不能基数」の版間の差分
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[[マーロ基数]]は到達不能であり、hyper-到達不能であり、hyper-hyper-到達不能であり、……(以下同様)となっている。
== 到達不能基数のモデル理論的な二つの特徴付け ==
一つ目として、基数κが到達不能であることはκが以下のreflection propertyを満たすことと同値である。: 全ての U ⊂ V<sub>κ</sub>に対してある α < κ が存在して <math>(V_\alpha,\in,U\cap V_\alpha)</math> が
<math>(V_\kappa,\in,U)</math> の[[初等部分モデル]]になる
(実は、そのようなαの集合はκの中で[[Club集合|club]]である)。
全ての n ≥ 0に対して κ が
<math>\Pi_n^0</math>-[[記述不能]] であるというのもこの条件に同値である。
ZFの下で∞がreflection propertyよりいくらか弱い条件を満たすことが
証明可能である。ここで、部分構造 (V<sub>α</sub>, ∈, U ∩ V<sub>α</sub>)は 式の有限集合に関して'初等的'であることのみ要求される。
結局、この弱化の理由は
モデル理論的充足関係 <math>\models</math> は定義できるが、
真理性は定義できないことによる。
[[タルスキの定義不可能性定理|タルスキの定理]]による。
二つ目は、ZFCの下で
κが到達不能基数であることと
(V<sub>κ</sub>, ∈)が[[二階述語論理]]のZFCのモデルであることが
同値であることが証明できる。
この場合、上のreflection propertyによって、
あるα < κが存在して(V<sub>α</sub>, ∈)が[[一階述語論理]]の
ZFCの標準モデルとなる。
だから到達不能基数の存在はZFCの標準モデルの存在より強い仮定である。
==関連項目==
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