「円 (数学)」の版間の差分

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[[数学]]において、'''円'''(えん)とは、[[平面]](2次元[[ユークリッド空間]])上の、ある点 ''O'' からの距離が等しい[[点]]の集合でできる[[曲線]]のことをいう。この点 ''O'' を円の'''中心'''、中心から円周上の 1 点を結んだ[[線分]]、或いは、その線分の[[長さ]]を'''半径'''という。中心が点 ''O'' である円を円 ''O'' と表すことも多い。[[定幅図形]]の一つ。
 
円の内部を含めて円ということもある。この場合は、曲線のことを'''円周'''という。対して、内部を含めていることを強調するときには'''円板'''という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して、円形ということもある。
== 円の性質 ==
 
円周上の 2 点 ''A''''B'' があるとき、線分 ''AB'' を'''弦'''といい、弦 ''AB'' と表記する。特に円の中心を通る弦を円の'''直径'''という。直径の長さは半径の長さの 2 倍となる。円周の長さの直径の長さに対する比はどの円でも一定の値をとり、これを[[円周率]]といい普通 [[π]] で表す。円の半径を ''r'' とすると、円周の長さは 2π''r'' で表される。また、円の[[面積]]は、π''r''<sup>2</sup> で表すことができる。同じ長さの周をもつ平面図形のなかで、円がもっとも面積が大きくなる。('''等周問題''')
 
[[画像:中心角と円周角.png|thumb|right|中心角と円周角]]
弦によって円周は 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を'''弧'''(arc)または'''円弧'''という。弧のうち、長さが大きい方の弧を'''優弧'''(major arc)、短い方の弧を'''劣弧'''(minor arc)という。
''AB'' に対する弧は弧 ''AB'' とよび、⌒ABと表記する(記号 は、AB の上にかぶせるように書くのが正しい)。特に、優弧か劣弧かのいずれかを特定したい場合は、その弧上にある点 ''P'' を用いて ''APB''⌒APB のように表記する。
''O'' が弧 ''AB'' を持つとき、線分半径 ''OA''、線分 '',OB'' と弧 ''AB'' とで囲まれた図形を'''扇形'''(sector)''0-AB''⌒AB という。また、扇形に含まれる側の∠''AOB''∠AOB を弧 ''AB'' に対する'''中心角'''という。中心角とそれに対するの角が見込む弧の長さは[[比例]]する。同様に中心角とそれに対すの角が切り取る扇形の面積も比例する。
 
'' AB'' と弧'' AB'' で囲まれた図形を '''弓形'''(segment)という。
 
''AB'' 上に無い円 ''O'' の円周上の点 ''P'' を取るとき、∠''APB''∠APB を弧 ''AB'' に対する'''[[円周角]]'''という。弧 ''AB'' に対する円周角は常に一定の大きさをもち、中心角 ''AOB'' の半分となるに等しい('''円周角の定理''')。
特に弦'' AB'' が直径である場合は、弧'' AB'' に対する円周角は[[直角]]になる。
 
''O'' 上に 4 点 ''A''、'',B''、'',C''、'',D'' があるとき、この 4 点を結んでできる[[四角形]]は円 ''O'' に'''内接する'''という('''内接四角形''')。またこのとき、円 ''O'' を四角形 ''ABCD'' の'''外接円'''という。四角形が円に内接するとき、四角形の対角の和は 180 度である平角に等しい('''内接四角形の定理''')。この逆も成立する。また、円に内接する四角形のの大きさは、その頂点に対すおけの大きさに等しい。
[[画像:円に内接する四角形.png|thumb|center|円と内接四角形]]
 
円周と直線とがただ 1 つの共通点を持つとき、その直線を円の'''接線'''(tangent)といい、共通点を接点という。接点を通り、接線に[[垂直]]な直線を'''法線'''という。円の法線は中心を通る。円の接線とその接点を通る弦との作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい('''接弦定理''')。たとえば、下図で ''AT'' が接線ならば、∠''BAT''∠BAT = ∠''APB''∠APB となる。接弦定理は逆も成立する。
[[画像:接弦定理.png|thumb|center|接弦定理]]
 
[[画像:円の位置関係.png|thumb|right|位置関係]]
半径が異なる2つの円の位置関係は次のように分けられる。
# 円 ''A'' と円 ''B'' に共通点がなく中心が一致する場合。このとき 2 つの円は'''同心円'''という。
# 円 ''A'' が円 ''B'' の内部にあり共通点がなく、中心も一致しない場合。このとき円'' A'' は円'' B'' を'''内包する'''という。
# 円 ''A'' が円 ''B'' の内部にあり、1 点のみ共通する場合。このとき円 ''A'' は円 ''B'' に'''内接する'''という。2 つの円の共通接線はただ 1 つ引くことができる。
# 円 ''A'' と円 ''B'' との共通点が 2 つある場合。このとき 2 つの円は'''交わる'''といい、2 円に共通する弦を'''共通弦'''という。共通接線は 2 本引くことができる。
# 円 ''A'' が円 ''B'' の外部にあり、1 点のみ共通する場合。このとき円 ''A'' は円 ''B'' に'''外接する'''という。共通接線を 3 本引くことができる。
# 円 ''A'' が円 ''B'' の外部にあり、共通点がない場合。共通接線は 4 本引くことができる。
 
== 座標と円 ==
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