「円 (数学)」の版間の差分

== 円の性質 ==
 
円周上の 2 点 A,B があるとき、線分 AB を'''弦'''といい、弦 AB と表記するよぶ。特に円の中心を通る弦を円の'''直径'''という。直径の長さは半径の長さの 2 倍となる。円周の長さの直径の長さに対する比はどの円でも一定の値をとり、これを[[円周率]]といい普通 [[π]] で表す。円の半径を ''r'' とすると、円周の長さは 2π''r'' で表される。また、円の[[面積]]は、π''r''<sup>2</sup> で表すことができる。同じ長さの周をもつ平面図形のなかで、円がもっとも面積が大きくなる。('''等周問題''')
 
[[画像:中心角と円周角.png|thumb|right|中心角と円周角]]
を含む直線を、この円の割線とよぶ。割線によって円周は 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を '''弧'''(arc) または '''円弧'''という。弧のうち、長さが大きい方の弧を'''優弧'''(major arc)、短い方の弧を'''劣弧'''(minor arc)という。
:2つの弧の長さに大小があるとき、弧の長い方を '''優弧'''(major arc)、短い方を '''劣弧'''(minor arc) という。
弦 AB に対する弧は弧 AB とよび、⌒ABと表記する(記号 は、AB の上にかぶせるように書くのが正しい)。特に、優弧か劣弧かのいずれかを特定したい場合は、その弧上にある点 P を用いて ⌒APB のように表記する。
:2つの弧の長さが等しいとき、これらの弧を '''半円の弧''' という。このとき、割線は円の中心を通る。
円周上の2点A,Bを両端とする弧を、弦 AB に対する弧と表現し、これを弧 AB とよび呼ぶ。記号では、⌒ABと表記する(記号 は、AB の上にかぶせるように書くのが正しい)。特に、優弧か劣弧かのいずれかを特定したい場合は、その弧上にある点 P を用いて ⌒APB のように表記する。
円 O が弧 AB を持つとき、半径 OA,OB と弧 AB とで囲まれた図形を'''扇形'''(sector)0-⌒AB という。また、扇形に含まれる側の∠AOB を弧 AB に対する'''中心角'''という。中心角とその角が見込む弧の長さは[[比例]]する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。
 
 
弧 AB 上に無い円 O の円周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する'''[[円周角]]'''という。弧 AB に対する円周角は常に一定の大きさをもち、中心角 AOB の半分に等しい('''円周角の定理''')。
特に弦 AB が直径である場合は、弧 AB に対する円周角は[[直角]]になる('''直径を見込む円周角''')
 
円 O 上に 4 点 A,B,C,D があるとき、この 4 点を結んでできる[[四角形]]は円 O に'''内接する'''という('''内接四角形''')。このとき、円 O を四角形 ABCD の'''外接円'''という。四角形が円に内接するとき、四角形の対角の和は平角に等しい('''内接四角形の定理''')。この逆も成立する。また、円に内接する四角形の内角の大きさは、その対頂点における外角の大きさに等しい。また、これらの逆も成立する([[四点共円定理]])
[[画像:円に内接する四角形.png|thumb|center|円と内接四角形]]
 
円周と直線とがただ 1 つの共通点を持つとき、その直線を円の'''接線'''(tangent)といい、共通点を接点という。接点を通り、接線に[[垂直]]な直線を'''法線'''という。円の法線は中心を通る。円の接線その接点を通る弦との作る角結ぶ半径は、その角の中にある弧に対する円周角接点等し('''接弦定理''')。たとえば、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB なる。接弦定理は逆も[[垂直]]を
 
[[画像:接弦定理.png|thumb|center|接弦定理]]
[[画像:接弦定理.png|thumb|center|接弦定理]]円の接線とその接点を通る弦との作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい('''接弦定理''')。たとえば、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB となる。接弦定理は逆も成立する。
 
円の[[接吻数]]は6である。これは当たり前のことだが完全な証明は1910年までできなかった。
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