「平面波」の版間の差分

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夜仮面様 (会話 | 投稿記録)
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平面波と周期性
69行目:
 
のように書く。
==平面波と周期性==
===周期性の定義===
Fを実数値あるいは複素数値の実n変数関数とし、
<math>\tau</math>をn次元の実定数ベクトルとする。このとき、
 
<math>\tau</math>がFの周期であるとは、任意のn次元実数ベクトルxに対し
 
<math>F(x+\tau)=F(x)</math>
 
であることを意味する。
 
<table><tr><td>
命題1:<br>
Fを実数値あるいは複素数値の実n変数関数としたとき、<br>
(1)0は、Fの周期である。<br>
(2)n次元の実定数ベクトル<math>{\tau}_{1}</math>と<math>{\tau}_{2}</math>がFの周期であれば、<math>{\tau}_{1}+{\tau}_{2}</math>もFの周期である。<br>
(3)zが整数であり、<math>\tau</math>がFの周期であるとき、<math>z\tau</math>も、Fの周期である。<br>
</td></tr></table>
 
ここで、<math>\tau</math>がFの周期であったとしても、<math>\sqrt{2}\tau</math>や<math>\frac{1}{2}\tau</math>がFの周期であるとは限らない。
 
前記の命題1から帰納的に以下の命題2が示される。
 
<table><tr><td>
命題2:<br>
<math>{\tau}_{1},{\tau}_{2},\cdots,{\tau}_{l}</math>がFの周期、<math>{z}_{1},{z}_{2},\cdots,{z}_{l}</math> が整数であるとき、
 
<math>{z}_{1}{\tau}_{1}+\cdots +{z}_{l}{\tau}_{l}</math>
 
も又、Fの周期である。
</td></tr></table>
 
===n重周期関数と逆格子===
Fを実数値あるいは複素数値の実n変数関数とする。
 
Fが、少なくともl個の周期<math>{\tau}_{1},\cdots,{\tau}_{l}</math>を持ち、
かつ、<math>{\tau}_{1},\cdots,{\tau}_{l}</math>が一次独立であるとき、
Fはl重周期関数であるという。
 
特に、n重周期関数Fに対し、Tの列ベクトル全て、即ち<math>{T}_{1},\cdots,{T}_{l}</math>
がFの周期となるようなn次正則行列
 
<math>T=({\tau}_{1},\cdots,{\tau}_{l})</math>
 
が定まる。このようなTを、本稿ではFの周期行列と言うことにする。
 
n次元標準格子空間<math>\mathbb{Z}^{n}</math>を、以下のように定義する。即ち、n次元標準格子空間
は、成分全てが整数となるようなn次元実数ベクトルを全て集めることによって出来た集合である。
 
<math>\mathbb{Z}^{n} = \left\{ \left. \left( \begin{matrix}
z_1 \\
\vdots \\
z_n \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x_1 ,\cdots , x_n \in \mathbb{Z} \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.</math>
 
<math>\mathbb{Z}^{n}</math>は、
<math>\mathbb{R}^{n}</math>の標準基底<math>{e}_{1},\cdots,{e}_{n}</math>のZ結合で生成される。即ち、
<math>\mathbb{Z}^{n}</math>の点<math>z</math>は、n個の整数<math>{z}_{1},\cdots,{z}_{n}</math>
によって、
 
<math>z={z}_{1}{e}_{1}+\cdots +{z}_{n}{e}_{n}</math>
 
のように展開することが出来る。この展開は、一意的である。
 
 
n次正則行列Aに対し、<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>を、
 
<math>A\mathbb{Z}^{n} = \left\{ \left. A\left( \begin{matrix}
z_1 \\
\vdots \\
z_n \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x_1 ,\cdots , x_n \in \mathbb{Z} \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.</math>
 
と定め、n次元正則行列Aによって生成された格子空間と呼ぶ。
<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>は、
<math>\mathbb{R}^{n}</math>の標準基底<math>{A}_{1},\cdots,{A}_{n}</math>のZ結合で生成される。即ち、
<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>の点は、n個の整数<math>{z}_{1},\cdots,{z}_{n}</math>
によって、
 
<math>A(z)=A({z}_{1},\cdots,{z}_{n})={z}_{1}{A}_{1}+\cdots +{z}_{n}{A}_{n}</math>
 
のように表すすることが出来る。即ち、標準格子空間<math>\mathbb{Z}^{n}</math>上の点zは、行列
Aによって、必ず<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>に移すことが出来る。
 
ここで、<math>{A}_{j}</math>は、Aの第j列ベクトルである。即ち
<math>{A}_{j}=A{e}_{j}</math>である。
 
 
逆に<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>上の点は
Aの逆行列<math>{A}^{-1}</math>によって、<math>{Z}^{n}</math>に移る。
 
以降、周期行列Tを持つ空間n重周期関数Fに対し、
 
<math>
({}^{t}{G})*T=2\pi E</math>
 
を、「Fの逆格子空間を定める行列」と言い、
<math>G{Z}^{n}</math>のことを、Fの逆格子空間という。
但しEは、n次単位行列で、<math>{}^{t}</math>は、転置作用素(即ち<math>{}^{t}{G}</math>はGの転置行列)
である。
 
==正弦平面波==
324 ⟶ 220行目:
となる。この問題は、2つの位相差のある平面正弦波の重ねあわせの問題である。
 
 
==平面波と多重周期性==
 
==平面波と周期性==
===周期性の定義===
Fを実数値あるいは複素数値の実n変数関数とし、
<math>\tau</math>をn次元の実定数ベクトルとする。このとき、
 
<math>\tau</math>がFの周期であるとは、任意のn次元実数ベクトルxに対し
 
<math>F(x+\tau)=F(x)</math>
 
であることを意味する。
 
<table><tr><td>
命題1:<br>
Fを実数値あるいは複素数値の実n変数関数としたとき、<br>
(1)0は、Fの周期である。<br>
(2)n次元の実定数ベクトル<math>{\tau}_{1}</math>と<math>{\tau}_{2}</math>がFの周期であれば、<math>{\tau}_{1}+{\tau}_{2}</math>もFの周期である。<br>
(3)zが整数であり、<math>\tau</math>がFの周期であるとき、<math>z\tau</math>も、Fの周期である。<br>
</td></tr></table>
 
ここで、<math>\tau</math>がFの周期であったとしても、<math>\sqrt{2}\tau</math>や<math>\frac{1}{2}\tau</math>がFの周期であるとは限らない。
 
前記の命題1から帰納的に以下の命題2が示される。
 
<table><tr><td>
命題2:<br>
<math>{\tau}_{1},{\tau}_{2},\cdots,{\tau}_{l}</math>がFの周期、<math>{z}_{1},{z}_{2},\cdots,{z}_{l}</math> が整数であるとき、
 
<math>{z}_{1}{\tau}_{1}+\cdots +{z}_{l}{\tau}_{l}</math>
 
も又、Fの周期である。
</td></tr></table>
 
===n重周期関数と逆格子===
Fを実数値あるいは複素数値の実n変数関数とする。
 
Fが、少なくともl個の周期<math>{\tau}_{1},\cdots,{\tau}_{l}</math>を持ち、
かつ、<math>{\tau}_{1},\cdots,{\tau}_{l}</math>が一次独立であるとき、
Fはl重周期関数であるという。
 
特に、n重周期関数Fに対し、Tの列ベクトル全て、即ち<math>{T}_{1},\cdots,{T}_{l}</math>
がFの周期となるようなn次正則行列
 
<math>T=({\tau}_{1},\cdots,{\tau}_{l})</math>
 
が定まる。このようなTを、本稿ではFの周期行列と言うことにする。
 
n次元標準格子空間<math>\mathbb{Z}^{n}</math>を、以下のように定義する。即ち、n次元標準格子空間
は、成分全てが整数となるようなn次元実数ベクトルを全て集めることによって出来た集合である。
 
<math>\mathbb{Z}^{n} = \left\{ \left. \left( \begin{matrix}
z_1 \\
\vdots \\
z_n \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x_1 ,\cdots , x_n \in \mathbb{Z} \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.</math>
 
<math>\mathbb{Z}^{n}</math>は、
<math>\mathbb{R}^{n}</math>の標準基底<math>{e}_{1},\cdots,{e}_{n}</math>のZ結合で生成される。即ち、
<math>\mathbb{Z}^{n}</math>の点<math>z</math>は、n個の整数<math>{z}_{1},\cdots,{z}_{n}</math>
によって、
 
<math>z={z}_{1}{e}_{1}+\cdots +{z}_{n}{e}_{n}</math>
 
のように展開することが出来る。この展開は、一意的である。
 
 
n次正則行列Aに対し、<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>を、
 
<math>A\mathbb{Z}^{n} = \left\{ \left. A\left( \begin{matrix}
z_1 \\
\vdots \\
z_n \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x_1 ,\cdots , x_n \in \mathbb{Z} \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.</math>
 
と定め、n次元正則行列Aによって生成された格子空間と呼ぶ。
<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>は、
<math>\mathbb{R}^{n}</math>の標準基底<math>{A}_{1},\cdots,{A}_{n}</math>のZ結合で生成される。即ち、
<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>の点は、n個の整数<math>{z}_{1},\cdots,{z}_{n}</math>
によって、
 
<math>A(z)=A({z}_{1},\cdots,{z}_{n})={z}_{1}{A}_{1}+\cdots +{z}_{n}{A}_{n}</math>
 
のように表すすることが出来る。即ち、標準格子空間<math>\mathbb{Z}^{n}</math>上の点zは、行列
Aによって、必ず<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>に移すことが出来る。
 
ここで、<math>{A}_{j}</math>は、Aの第j列ベクトルである。即ち
<math>{A}_{j}=A{e}_{j}</math>である。
 
 
逆に<math>A\mathbb{Z}^{n}</math>上の点は
Aの逆行列<math>{A}^{-1}</math>によって、<math>{Z}^{n}</math>に移る。
 
以降、周期行列Tを持つ空間n重周期関数Fに対し、
 
<math>
({}^{t}{G})*T=2\pi E</math>
 
を、「Fの逆格子空間を定める行列」と言い、
<math>G{Z}^{n}</math>のことを、Fの逆格子空間という。
但しEは、n次単位行列で、<math>{}^{t}</math>は、転置作用素(即ち<math>{}^{t}{G}</math>はGの転置行列)
である。
 
===多重周期性の定義===
多重周期性に関して必要最小限のことを補足説明する。([[周期関数]]も参照のこと。)