「平面波」の版間の差分
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==平面波の定義==
平面波と呼ばれる関数には、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」がある。「時間変数を持たない平面波」は、周期関数のフーリエ級数展開や、フーリエ変換、時間発展のないシュレーディンガー方程式の計算に用いられる。「時間変数を持つ平面波」は、波動方程式の解として現れる。
通常、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」は、区別されずに混同されて用いられるが、異なるものなので、曖昧さを回避する観点から区別が必要な場合には、用語を使い分けることにする。それぞれの用語の定義は以下に行う。▼
通常、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」は、区別されずに▼
▲混同されて用いられるが、異なるものなので、曖昧さを回避する観点から区別が必要な場合には、用語を使い分けることにする。それぞれの用語の定義は以下に行う。
また、本稿では、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」の総称
として「平面波」という用語を用いることにする。
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===時間変数を持たない平面波===
実数または複素数に値を取る実n変数関数<math>\Psi</math>が、時間変数を持たない平面波であるとは、
、周期1の実１変数の周期関数fと、n次元実数ベクトル
<div align=center>
<math>\Psi(x)=f(
とあらわされることを意味する。ここで、kは定数ベクトルであり、波数ベクトルと言われる。
<math>\Psi</math>が実数値関数のときには、時間変数を持たない実平面波<math>\Psi</math>が複素数値関数のときには、時間変数を持たない複素平面波と呼ぶ。▼
▲<math>\Psi</math>が複素数値関数のときには、時間変数を持たない複素平面波
===時間変数を持つ平面波===
実数または複素数に値を取る関数<math>\Phi</math>が、時間変数を持つ平面波であるとは、空間変数xがn次元実数ベクトルであり、時間変数tが実数であり、
周期1の実1変数の周期関数fと、n次元実数ベクトル
<math>\omega\neq 0</math>(但し<math>\omega\neq 0</math>)を用いて、
<div align=center>
<math>\Phi(x,t)=f(
であることを意味する。ここで、
時間変数を持つ平面波は、[[波動方程式]]の固有解に現れる。
尚、本稿では、時間変数と空間変数を、
<math>\textbf{X}=(\textbf{x},t)</math>のように分ける。つまり、変数の最後の成分<ref name=saisyo>文献によっては最初の成分を時間変数にする場合もあるが、本記事では、時間変数は最後の成分にする。</ref>を時間変数と考える。
これに応じて、波数ベクトル<math>\textbf{K}</math>も、空間成分<math>\textbf{k}</math>と、時間成分ωに分け、▼
物理学では、空間変数<math>\textbf{x}</math>と時間変数<math>t</math>は異なるものであるが、数学では、どちらも変数である。この意味において、n次元の時間変数を持つ平面波は、n+1変数の時間変数を持たない平面波と見做すことができる。
実n+1変数関数<math>\Phi</math>が、時間変数を持つ平面波とし、<math>\Phi</math>は、
、周期1の実１変数の周期関数fと、n次元実数ベクトルk（但し、<math>k\neq 0</math>）と、実数ω(但し、ω≠0)を用いて、
<div align=center>
<math>\Phi(x,t)=f(k\cdot x-\omega t)</math></div>
と書けるものとする。
▲
<math>\textbf{K} = \left( \begin{array}{c}
\vdots \\
-\omega
\end{array} \right)</math>
とする。但し、<math>{k}_{i}</math>は、波数ベクトルkの第i成分を意味する。
又、<math>\textbf{X}=(\textbf{x},t)</math>とする。
このように考えると、
<div align=center>
<math>A\exp i( \textbf{k} \cdot \textbf{x} + \omega \cdot t+ \delta )</math> (2-1')▼
<math>\Phi(x,t)= \Phi(x,t)=f(k\cdot x-\omega t)=f(K\cdot X)</math></div>
のように見做すことが出来る。この意味において、n次元の時間変数を持つ平面波は、n+1変数の時間変数を持たない平面波と見做すことができた。
==正弦平面波==
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物理学では、変数<math>\textbf{X}</math>を空間変数<math>\textbf{x}</math>と時間変数<math>t</math>の2つに分け、
<div align=center>
<math>\textbf{X} =( \textbf{x} ,t)</math>のように分ける。つまり、変数の最後の成分<ref name=saisyo>文献によっては最初の成分を時間変数にする場合もあるが、本記事では、時間変数は最後の成分にする。</ref>を時間変数と考える。これに応じて、波数ベクトル<math>\textbf{K}</math>も、空間成分<math>\textbf{k}</math>と、時間成分ωに分け、▼
▲
<math>\textbf{K}=\left( \begin{array}{c}
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