「コーシー=シュワルツの不等式」の版間の差分

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m (ロボットによる 追加: pms:Disugualiansa ëd Cauchy)
 
別の観点に立った証明として、直交射影の概念を用いる以下のものがある:||''y''|| = 0 のときは、''x'' と ''y'' との内積が 0 になり、問題の不等式は自明な形で等号として成立する。 ||''y''|| > 0 のときは、
: <math>t=\frac{\langle x,y\rangle}{|\|y|\|^2}</math>
に対して ''t y'' を ''x'' の ''y'' 方向への直交射影と見なすことができる。実際、この ''t'' について ''z'' := ''x'' - ''t y'' は ''y'' に直交している。
: <math> |\|x-z|\|^2 = \frac{|\|x|\|^2|\|y|\|^2-|\langle x,y \rangle|^2}{|\|y|\|^2}</math>
が非負であることよりコーシー=シュワルツの不等式が従う。さらに、''x'' と ''y'' とが線型従属のときかつそのときに限り ''z'' = ''x'' であり、不等式において等号が成立することがわかる。