「ホモロジカルミラー対称性予想」の版間の差分

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'''ホモロジカルミラー対称性'''は、[[マキシム・コンツェビッチ]]により予想された[[数学]]的な[[予想]]です.物理学者の[[弦理論]]を研究することにより最初に観察された[[ミラー対称性 (弦理論)]]と呼ばれる現象の数学的系統的な説明を求めています.
 
本記事は、[[{{仮リンク|Homological Mirror Symmetry|en|Homological Mirror Symmetry]]|label=Homological Mirror Symmetry}} 22:32, 18 April 2012‎ から訳しましたが、さらに追加分を日本語化しました.
 
==歴史==
 
[[チューリッヒ]]での1994年の国際数学者会議[[{{仮リンク|International Congress of Mathematicians|en|International Congress of Mathematicians]]|label=(International Congress of Mathematicians)}}の報告で、コンツェビッチは[[カラビ-ヤウ多様体]]のペア ''X'' と ''Y'' のミラー対称性が、[[代数多様体]] ''X'' から構成された三角圏[[{{仮リンク|triangulated category|en|triangulated category]]|label=(triangulated category)}} (''X'' 上の連接層[[{{仮リンク|coherent sheaf|en|coherent sheaf|label=(coherent sheaves]]sheaf)}}の導来圏[[{{仮リンク|derived category|en|derived category]])|label=(derived category)}}ともう一つの ''Y'' の[[シンプレクティック多様体]]から構成される三角圏(導出された深谷圏[[{{仮リンク|Fukaya category|en|Fukaya category]]|label=(Fukaya category)}}の同値性として説明されるのではないかという予想のことを言います.
 
[[エドワード・ウィッテン]]は、最初にN=(2,2)の超対称性場の理論を位相的ツイストして、位相的弦理論[[{{仮リンク|topological string theory|en|topological string theory|label=(topological string theories]]theory)}}のAモデルとBモデルと呼ばれるものとして記述しました.これらのモデルは、リーマン面から固定された対象空間-普通はカラビ-ヤウ多様体への写像と考えられます.数学でのミラー対称性予想の多くは、''Y'' 上のA-モデル''Y'' と ''X'' 上のB-モデルの物理的な同値関係へ埋め込まれます.リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表します.開いた弦を再現するためには、超対称性を保存する境界条件を導入する必要があります.A-モデルでは、これらの境界条件はある付加された構造(ブレーン構造と言います)を持った ''Y'' ラグランラジアン部分多様体[[{{仮リンク|Lagrangian submanifold|en|Lagrangian submanifold]]|label=(Lagrangian submanifold)}}という形式から導出されます.B-モデルでは、境界条件は ''X'' の上の正則(もしくは代数的)べクトルバンドルを持つ部分多様体の形式から導出されます.これらは、適当な[[圏論|圏]]を作るときに使う対象です.これらのことをそれぞれAブレーンやBブレーンということもあります.圏のモルフィズム(morphism)は2つのブレーンの間に張られた開弦の無質量なスペクトルにより与えられます.
 
A-モデルとB-モデルの閉弦は、単にいわゆるトポロジカルセクター - 全弦理論の小さい一部としてとらえられます.同様に、これらのモデルのブレーンは、単にD-ブレーン[[D-brane]]たちの全力学的対象の位相的な近似です.そうだとしても、弦理論のこの小さな部分から出てくる数学的な結果することは深く、また難しい問題です.
 
==例==
この予想を数学者が評価することのできる例は、少数ですがあります.コンツェビッチが、セミナーで指摘したように、予想は[[楕円曲線]]の場合には[[テータ函数]]を使い証明できるのではないでしょうか.この導きに従い、アレクサンダー・ポリスチュック[[{{仮リンク|Alexander Polishchuk|en|Alexander Polishchuk]]|label=(Alexander Polishchuk)}} と エリック・ザスロフ[[{{仮リンク|Eric Zaslow|en|Eric Zaslow]]|label=(Eric Zaslow)}}大延楕円曲線についての予想のバージョンの証明をしました.深谷・賢治[[{{仮リンク|Kenji Fukaya|en|Kenji Fukaya]]|label=(Kenji Fukaya)}}は、アーベル多様体[[{{仮リンク|abelian varieties]]variety|en|abelian variety|label=(abelian variety)}}についての予想の要素たちを確立するを可能としました.その後、とヤン・ソイベルマン[[{{仮リンク|Yan Soibelman|en|Yan Soibelman]]|label=(Yan Soibelman)}}は、SYZ予想[[{{仮リンク|SYZ conjecture|en|SYZ conjecture]]|label=(SYZ conjecture)}}から来るアイデアを使い、[[代数多様体#アフィン代数多様体の座標環とヒルベルトの零点定理|アフィン多様体]]上の非特異なトーラスバンドル[[{{仮リンク|torus bundle]]|en|torus bundle|label=(torus bundle)}}についての予想の大半を証明しました.2003年に、ポール・ザイデル[[{{仮リンク|Paul Seidel|en|Paul Seidel]]|label=(Paul Seidel)}}は二次曲面[[{{仮リンク|quartic surface|en|quartic surface]]|label=(quartic surface)}}の場合の予想を証明しました.{{harvtxt|Hausel|Thaddeus|2002}}は、SYZ予想の素描をHitchin系とLanglands双対性の脈絡で説明しました.
 
==ホッジ(Hodge)ダイアモンド==
下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、''(p,q)''-[[微分形式]]の空間の次元 ''h''<sup>p,q</sup> を座標を ''(p,q)'' として並べたもので、ダイアモンドの形となります.p=0,1,2, q=0,1,2 つまり、2-次元の場合には、
 
''h''<sup>2,2</sup>
となります.
 
K3曲面[[{{仮リンク|K3 surface|en|K3 surface|label=(K3 surface]])}}の場合には、2-次元のカラビ-ヤウ多様体とみなすことができますが、ベッチ数[[{{仮リンク|Betti number|en|Betti number]]|label=(Betti number)}}たちが、''{1, 0, 22, 0, 1}''ですから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになります.
 
''1''
13,687

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