「台形公式」の版間の差分

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近似誤差の誤りを修正、補足。計算式の補足
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m (近似誤差の誤りを修正、補足。計算式の補足)
[[数学]]において、'''台形公式'''(だいけいこうしき、''Trapezoidal rule'')もしくは'''台形則'''(だいけいそく)は[[積分|定積分]]を[[近似]]計算するための方法の 1つである。
 
具体的に言えば、求めたいx-yグラフのy=0を含む面積内に無数の[[台形]]を置くと、その台形の面積の集合和は本物の面積に限りなく近い値となる。
 
 
== 概要 ==
シンプソンの公式やその他の類似の手法は、2階連続微分可能な関数に対する台形公式の改良とみなせるが、細かく変動しない荒い関数に対しては台形公式で十分であり、計算も簡単である。
 
== 近似誤差 ==
台形公式の利点は、近似誤差が容易に分かることである。[[凸関数]]に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ多くなる。[[凹関数]]に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ多くなる。また積分区間が[[変曲点]]を含むとき誤差は小さくなる。
台形公式の利点は、近似誤差が容易に分かることである。
 
[[凸関数]]に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ小さい値になり、
[[凹関数]]に対してこの公式で積分を求めると、結果は実際の値よりも台形と実際の関数曲線の差分の分だけ大きい値になる。
 
また積分区間が[[変曲点]]を含むとき上記の凸部分の誤差と凹部分の誤差が打ち消し合い'''全体的な誤差'''は小さくなる。
 
 
さらに、台形公式は[[周期関数]]をその周期よりも長い区間積分する場合にはきわめて精度が高くなる傾向がある。これは[[オイラーの和公式]]との関係をみると良く理解できる。しかしながら非周期関数に対しては一般に、 [[ガウス求積]]や[[クレーンショー・カーチス数値積分則]]のような非等分点法の方がより精度が高い。
:''a'' = ''a''<sub>0</sub> &le; ''a''<sub>1</sub> &le; &hellip; &le; ''a''<sub>''n''</sub> = ''b''
として積分区間 [''a'', ''b''] をより小さい''n''個の部分区間 [''a''<sub>0</sub>,''a''<sub>1</sub>], [''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>], &hellip; [''a''<sub>''n''&minus;1</sub>,''a''<sub>''n''</sub>] に分け、それぞれの区間で台形公式を用いて近似する。
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{a_{k-1}}^{a_k} f(x)\, dx \approx \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})\frac{f(a_{k-1}) + f(a_k)}{2}</math>
 
 
さらに[[区間 (数学)|区間]]の幅が
 
:<math> a_k - a_{k-1} = \frac{b-a}{n}</math>
 
と一定になるように
:<math>a_k = a+k\fracint_{b-a}^{nb}, f(k=0x)\ldots, dx n)</math>
:<math>= \int_{a_0}^{a_1} f(x)\, dx + \int_{a_1}^{a_2} f(x)\, dx + \int_{a_2}^{a_3} f(x)\, dx </math> ・・・ <math>\int_{a_{n-1}}^{a_n} f(x)\, dx </math>
ととることで
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{a_{k-1}}^{a_k} f(x)\, dx \approx \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})\frac{f(a_{k-1}) + f(a_k)}{2}</math>
 
 
さらに1[[区間 (数学)|区間]]の幅が <math> a_n - a_{n-1} = \frac{b-a}{n}</math> と、一定になり
 
k番目は <math>a_k = a+k\frac{b-a}{n},(k=0\ldots n)</math> と置けることで
 
 
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \sum_{k=1}^{n}(b-a)\frac{f(a_{k-1}) + f(a_k)}{2n}</math>
:<math> a_k - a_{k-1} = \frac{b-a}{n2n}</math> は定数より
 
 
:<math> = \frac{b-a}{2n} \sum_{k=1}^{n}{f(a_{k-1}) + f(a_k)}</math>
:<math> = \frac{b-a}{2n} \left(f(a_0) + 2f(a_1) + 2f(a_2)+\cdots+2f(a_{n-1}) + f(a_n) \right)</math>
:<math> = \frac{b-a}{n} \left\{ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right\}</math>
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